גרעין (תורת הקטגוריות)
בתורת הקטגוריות, גרעין הוא מושג כללי המכליל את מושג הגרעין האלגבראי - דהיינו גרעין של הומומורפיזם של חבורות, חוגים ומודולים.
באופן לא לגמרי פורמלי, גרעין של מורפיזם $ \,f:X\rightarrow Y $ עבור $ X,Y $ אובייקטים כלשהם, הוא האובייקט $ K $ "הכללי ביותר" עם מורפיזם מתאים מהצורה $ \,k:K\rightarrow X $, כך ש-$ \,f\circ k=0 $.
הגדרה
תהי $ C $ קטגוריה, המכילה את מורפיזם האפס. יהיו $ X,Y $ אובייקטים ויהי $ \,f:X\rightarrow Y $ מורפיזם.
הגרעין של $ f $ הוא אובייקט $ \ker(f) $ שעבורו קיים מורפיזם $ k:\ker(f)\to Y $ שהוא המשווה של $ f $ ושל מורפיזם האפס $ 0_{X,Y}:X\to Y $, וכן $ \ker(f) $ אוניברסלי ביחס לתכונה זו של קיום $ k $.
באופן מפורש, גרעין הוא אובייקט המקיים את שתי התכונות הבאות:
- $ \,f\circ k=0_{K,Y} $, כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
- בהינתן אובייקט $ K' $ עם מורפיזם כלשהו $ \,k':K'\rightarrow X $ כך ש-$ \,f\circ k'=0_{K',Y} $, קיים מורפיזם יחיד $ \,u:K'\rightarrow K $ כך ש $ \,k\circ u=k' $. כלומר הדיאגרמה הבאה קומוטטיבית:
במקרים רבים, במיוחד באלגברה, מתייחסים לגרעין כאל הגרעין האלגברי, וההמורפיזם $ k $ הוא העתקת ההכלה הטבעית.
ניתן להראות כי k הוא תמיד מונומורפיזם.
לא לכל מורפיזם בהכרח קיים גרעין, אך אם קיים גרעין אז הוא יחיד עד כדי איזומורפיזם.
דוגמאות
- בקטגוריה של חבורות, בהינתן הומומורפיזם $ \,f:X\rightarrow Y $, אם K הוא הגרעין של f במובן הרגיל של המילה, אז K היא תת-קבוצה של X, ומורפיזם ההכלה $ \,k:K\rightarrow X $ הוא הגרעין של f במובן הקטגורי.
- בקטגוריה של חוגים אין גרעין, משום שאין בקטגוריה זו מורפיזם אפס. (שהרי מניחים כי הומומורפיזמים מעתיקים את היחידה ליחידה).
גרעין (תורת הקטגוריות)39219068