למת החמישה

במתמטיקה, ובמיוחד באלגברה הומולוגית וביישומים אחרים של התורה של קטגוריות אבליות, למת החמישה היא למה בעלת חשיבות בנוגע לדיאגרמות קומוטטיביות. למת החמישה תקפה לא רק בקטגוריות אבליות אלא למשל גם בקטגוריית החבורות.

נוסח פורמלי

נניח כי נתונה הדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה בקטגוריה אבלית כלשהי (או לחלופין בקטגוריית החבורות):

למת החמישה טוענת כי אם השורות בדיאגרמה זו הן מדויקות, ואם m ו-p הם איזומורפיזמים, l הוא אפימורפיזם ו-q הוא מונומורפיזם, אזי גם n הוא איזומורפיזם.

למת החמישה נובעת מידית מזוג למות הדואליות זו לזו הנקראות למות הארבעה. ניסוחן של למות הארבעה:

הלמה הראשונה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות:

וכי m ו-p הם אפימורפיזמים ו-q הוא מונומורפיזם, אזי n הוא אפימורפיזם.

הלמה השנייה: נניח כי השורות בדיאגרמה הקומוטטיבית הבאה מדויקות:

וכי m ו-p הם מונומורפיזמים ו-l הוא אפימורפיזם, אזי n הוא מונומורפיזם.

הוכחה

הוכחת למות מסוג זה נעשית על ידי מרדף דיאגרמות: מעבר של איברים בדיאגרמה בעזרת מורפיזמים, תוך שימוש בתכונות שלהם. זוהי שיטה נוחה להוכחת טענות כלליות בתורת הקטגוריות, התלויות בתכונות שונות של מורפיזמים. ההוכחה עצמה לרוב טריוויאלית ומשתמשת כמעט ישירות בהגדרות.

הלמה הראשונה

כדי להוכיח ש-n הוא על, נניח ש- $a_{1}\in C'$ . נסמן $a_{2}=t(a_{1})$ . השורה התחתונה מדויקת ו- $a_{2}\in Im(t)$ , ולכן $u(a_{2})=0$ . נתון ש- $p$ על, לכן יש $a_{3}\in D$ כך ש- $p(a_{3})=a_{2}$ , ונסמן $a_{4}=j(a_{3})\in E$ . לכן, לפי התחלפות הריבוע הימני נקבל $q(a_{4})=0$ , ומכך ש- $q$ חח"ע נקבל $a_{4}=0$ . השורה העליונה מדויקת, לכן יש $a_{5}\in C$ כך ש- $h(a_{5})=a_{3}$ , ונסמן $a_{6}=n(a_{5})\in C'$ (שימו לב שלא נובע ש- $n(a_{5})=a_{1}$ !). כעת, לפי התחלפות הריבוע האמצעי, נקבל כי $t(a_{6})=a_{2}=t(a_{1})$ , ומכך ש- $t$ הומומורפיזם נובע $t(a_{1}-a_{6})=0$ . מדויק השורה התחתונה, נובע שקיים $a_{7}\in B'$ כך ש- $s(a_{7})=a_{1}-a_{6}$ . נתון ש- $m$ על, ולכן יש $a_{8}\in B$ כך ש- $m(a_{8})=a_{7}$ . נסמן $a_{9}=g(a_{8})\in C$ . לבסוף, לפי התחלפות הריבוע השמאלי $n(a_{9})=s(a_{7})=a_{1}-a_{6}$ . בסך הכל, שני האיברים $a_{1}-a_{6},a_{6}\in C'$ שניהם מתקבלים בתמונת $n$ , ולכם גם סכומם (מפורשות, $n(a_{9}+a_{5})=a_{1}$ ).