לוגיקה מודלית

לוגיקה מודָלית (modal logic) היא הרחבה של הלוגיקה הקלאסית, המאפשרת הגדרה פורמלית של ביטויים מודליים. ביטויים מודליים הם למשל כאלה המאפיינים את אמיתותם של משפטים, כגון "הכרחי" ו"אפשרי". לדוגמה, על פסוק כמו "יורד גשם", ניתן להפעיל את האופרטורים המודליים של ההכרח והאפשרות ולקבל "בהכרח יורד גשם" או "אפשרי שיורד גשם". הלוגיקה המודלית מציעה מספר מערכות אקסיומטיות בעלות תכונות שונות, והיא ניתנת להחלה במספר תחומים נוספים, למשל לשם תיאור מושגים דאונטיים (מושגי החובה וההיתר המוסרי, אותם ניתן להחיל על טענות הקובעות מה ראוי, מה אסור, ומה מותר) וטמפורליים (המאפשרת להביע את המובן הזמני של טענות כאופרטורים החלים על טענות לא-זמניות, וכך לייצג קשרי היסק לוגיים בין טענות אלו), וכן בתחומים שונים, למשל בתורת הידיעה (לוגיקה אפיסטמית) ובהסתברות.

הביטויים המודליים הבסיסיים

הביטויים המודליים הקלאסיים הם הכרח, אפשרות, חוסר אפשרות, וקונטינגנטיות. ישנם קשרים לוגיים המאפשרים להגדיר מושגים אלו אחד מתוך השני: אפשרי הוא מה ששלילתו אינה הכרחית, הכרחי הוא מה ששוללים את אפשרות שלילתו, לא-אפשרי הוא מה ששלילתו הכרחית וקונטינגנטי הוא מה ששלילתו אפשרית. נהוג להשתמש בשניים מבין הביטויים המודליים הללו בלבד: 'הכרחי ש-' ו'אפשרי ש-'. אלו מיוצגים בלוגיקה המודלית על ידי האופרטורים $\Box$ עבור הכרח ו- $\Diamond$ עבור אפשרות. כך, למשל, אם הפסוק $p$ מייצג את הטענה 'יורד גשם בחוץ', הרי שהטענה 'בהכרח יורד גשם בחוץ' תוצרן כך:

$\Box p$

ואילו הטענה 'ייתכן שיורד גשם בחוץ' תוצרן כך:

$\Diamond p$

האופרטורים $\Box$ ו-$\Diamond$, המייצגים בלוגיקה המודלית הקלאסית את הביטויים האלתיים (alethic) "הכרחי" ו"אפשרי", ניתנים גם לשימוש במגוון של ביטויים מודליים אחרים. למעשה, לוגיקה מודלית הנו שם קיבוצי למספר רב של מערכות פורמליות, כל אחת בעלת מאפיינים הייחודיים לה, אשר נקבעים על ידי המערכות האקסיומטיות השונות שלהן. ממערכות אלו נגזרות לוגיקות שונות שמטרתן לייצג ביטויים לשוניים בתחומים שונים, כגון לוגיקה טמפורלית לייצוג ביטויים של זמן (לפני, אחרי וכדומה), לוגיקה אפיסטמית לייצוג ביטויי ידיעה, לוגיקה דוקססטית לביטויי אמונה, לוגיקה דאונטית לביטויים נורמטיביים (ראוי ש..., מותר ל...), ולוגיקה דינמית לתיאור שינויים.

סמנטיקה של עולמות אפשריים עבור לוגיקה מודלית

סמנטיקה מקובלת ללוגיקה מודלית כוללת "מסגרת", או קבוצה של עולמות אפשריים, ויחס בינארי של "נגישות" בין עולמות אלו. בהתעלם מיחס הנגישות, שיוסבר להלן, סמנטיקה של עולמות אפשריים מפרשת את הטענה על מה שאפשרי כטענה על מצב עניינים ב"עולם" מסוים, את הטענה על מה שהכרחי כטענה על מצב העניינים "בכל העולמות האפשריים", ואת הטענה על הבלתי אפשרי כטענה על מה שאינו מצב העניינים "באף עולם אפשרי". פרשנויות מסוימות של "עולמות אפשריים", כמו זו של דייוויד לואיס, הן ריאליסטיות, והן מניחות את קיומם הממשי של עולמות מרובים, השונים מהעולם שלנו, האקטואלי, במידה זו או אחרת, אך כולם בעלי היתכנות לוגית.

יחס הנגישות

מאפיין חשוב המבדיל בין הסמנטיקה של המערכות האקסיומטיות השונות של הלוגיקה המודלית הוא האופן בו יחס הנגישות מוגדר בהן. הנגישות קובעת לגבי כל עולם במערך נתון של עולמות אפשריים, אילו עולמות במערך רלוונטיים לו. כך ניתן, למשל, להגדיר ש'הכרחי ש-$p$' היא טענה אמיתית בעולם מסוים במערך אם ורק אם הטענה '$p$' אמיתית בכל העולמות הנגישים לו (ולאו דווקא אם היא אמיתית בכל העולמות האפשריים בכלל), ואילו הטענה 'אפשרי ש-$p$' היא אמיתית בעולם זה אם ורק אם הטענה '$p$' אמיתית לפחות בעולם אחד הנגיש לו.

כך, למשל, במערכת האקסיומטית K, שהיא המערכת המודלית הבסיסית ביותר, הנגישות בין העולמות היא אקראית. במערכת המודלית T, לעומת זאת, הנגישות היא רפלקסיבית, כלומר, כל עולם נגיש גם לעצמו. במערכת המודלית B הנגישות היא רפלקסיבית וסימטרית (אם עולם n נגיש לעולם m גם עולם m נגיש לעולם n). במערכת המודלית S4 הנגישות היא רפלקסיבית וטרנזיטיבית (אם עולם n נגיש לעולם m ועולם m נגיש לעולם k, גם עולם n נגיש לעולם k), ובמערכת S5, שהיא המערכת המודלית הפשוטה ביותר, הנגישות היא אוניברסלית (כל עולם נגיש לכל עולם).

תולדות הלוגיקה המודלית

על אף שיש לה תקדימים אצל אריסטו ואצל ממשיכיו הסכולסטים ויליאם איש אוקאם וג'ון דנס סקוטוס, הלוגיקה המודלית המודרנית, המבוססת על מערכות אקסיומטיות, נוסדה בראשית המאה העשרים על ידי סי. איי. לואיס, שגם הציע את התיווי המקובל למונחי האפשרות וההכרח. הלוגיקה המודלית זכתה לתנופה החל ממחצית המאה, בעבודתה של רות ברקן מרקוס. העידן הנוכחי בלוגיקה המודלית החל ב-1959, בעבודתו של סול קריפקה, שסיפק את התורה הסמנטית המקובלת עבורה ואיפשר לנסח הוכחות שלמות עבור הלוגיקה המודלית.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא לוגיקה מודלית בוויקישיתוף