הנחה S5

הנחה S5 היא הנחת יסוד (אקסיומה) של מערכת S5 בלוגיקה מודלית. ההנחה מוכרת בשתי גרסאות:

• אם פסוק א' (פסוק כלשהו) הוא אפשרי, אז הכרחי שפסוק א' הוא אפשרי. בהצרנה: [$\Diamond p\to \Box \Diamond p$]
• אם אפשרי שפסוק א' הוא הכרחי, אז פסוק א' הוא הכרחי. בהצרנה: [$\Diamond \Box p\to \Box p$]

כאשר על פסוק מסוים מופעלים מספר אופרטורים מודאליים ("אפשרי" ו"הכרחי"), ניתן, באמצעות הנחה זו ומשפטים היכיחים ממנה, להוריד את האופרטורים הנוספים ולהישאר רק עם האחרון (למשל, מ"אפשרי שהכרחי ש-א'", אפשר להגיע לטענה הפשוטה יותר, "הכרחי ש-א'".)

אקסיומה זו אינה תלויה בפשר סמנטי מסוים למושגים המודאליים "אפשרי" ו"הכרחי". עם זאת, ההצדקה של הנחת היסוד יכולה להיעשות בהירה יותר כאשר חושבים על המודל הנפוץ של עולמות אפשריים, על-פיו טענה היא אפשרית אם היא נכונה לפחות בעולם לוגי אפשרי אחד והיא הכרחית אם היא נכונה בכל העולמות הלוגיים האפשריים. אם כן, אם אפשרי שטענה א' היא הכרחית (כלומר, בעולם אפשרי אחד נכון להגיד שהיא נכונה בכל העולמות האפשריים) אז טענה א' היא הכרחית (נכונה בכל העולמות האפשריים). כמו כן, אם טענה א' היא אפשרית (נכונה בעולם אפשרי אחד לפחות), אז הכרחי שטענה א' היא אפשרית (כי בכל העולמות האפשריים נכון להגיד שהיא אפשרית, כלומר נכונה לפחות בעולם אפשרי אחד).

אם המודליות כאן היא מה שאלוין פלנטינגה מכנה הכרח ואפשרות "לוגית במובן הרחב", הטיעון להנחת היסוד יכול להיות כזה: אם ייתכן שבהכרח ה' (הנחה כלשהי), כי אז ישנו עולם אפשרי שבו ההנחה תקפה בהכרח. מכאן, נכון בעולם כלשהו שההנחה היא באופן רחב ולוגי אמת בהכרח, משהו ששלילתו תהיה במובן הלוגי הרחב סתירה-עצמית. אבל אם משהו הוא בסתירה עצמית בעולם אפשרי כלשהו, כי אז הוא בסתירה עצמית בכל העולמות ולטענת פלנטינגה הדבר נכון גם במקרה של סתירות עצמיות במובן הלוגי הרחב.