כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל
כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל (הקרוי על שם המתמטיקאי גוטפריד וילהלם לייבניץ) הוא כלל שימושי בחשבון אינפיניטסימלי לגזירת ביטויים מהצורה $ \int _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x $.
ניסוח הכלל
תהי $ f(x,y) $ פונקציה מוגדרת במלבן $ [a,b]\times [\alpha ,\beta ] $, וגזירה ברציפות לפי $ y $ ($ {\frac {\partial f}{\partial y}} $ קיימת ורציפה). נניח בנוסף שהפונקציות $ a(y),b(y) $ גזירות בקטע $ [\alpha ,\beta ] $. אזי
$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x+f(b(y),y)b'(y)-f(a(y),y)a'(y) $.
מקרה פרטי ונפוץ של הכלל הוא כאשר הפונקציות $ a(y),b(y) $ קבועות, כלומר $ a(y)\equiv a,b(y)\equiv b $. אז נקבל כי
$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x $.
הוכחת הכלל
שלב א' - הוכחת המקרה הפרטי
תהי $ g(x,y) $ רציפה. נגדיר
$ G(y)=\int _{a}^{b}g(x,y)\,\mathrm {d} x $
ונטען שהיא רציפה. יהי $ \varepsilon >0 $. כיוון ש-$ g $ רציפה בתחום קומפקטי (מלבן) היא רציפה במידה שווה שם. מכאן שקיים $ \delta >0 $ כך שאם $ d((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}))<\delta $ אז $ |g(x_{1},y_{1})-g(x_{2},y_{2})|<\varepsilon $.
יהיו $ y_{1},y_{2}\in [\alpha ,\beta ] $ המקיימים $ |y_{1}-y_{2}|<\delta $. אבל $ d((x,y_{1}),(x,y_{2}))=|y_{1}-y_{2}|<\delta $ ולכן
$ |G(y_{1})-G(y_{2})|=\left|\int _{a}^{b}g(x,y_{1})\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}g(x,y_{2})\,\mathrm {d} x\right|=\left|\int _{a}^{b}(g(x,y_{1})-g(x,y_{2}))\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}|g(x,y_{1})-g(x,y_{2})|\,\mathrm {d} x<\int _{a}^{b}\varepsilon \,\mathrm {d} x=\varepsilon (b-a) $.
מכאן ש-$ G $ אכן רציפה (ולמעשה אפילו במידה שווה).
בפרט אם נבחר $ G(y)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x $ היא רציפה מההנחה ש-$ {\frac {\partial f}{\partial y}} $ רציפה. כעת, נביט בהפרש:
$ \Delta G=G(x,y+\Delta y)-G(x,y)=\int _{a}^{b}f(x,y+\Delta y)\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))\,\mathrm {d} x $.
כיוון ש-$ f $ רציפה וגזירה לפי $ y $, נוכל להיעזר במשפט לגרנז' ולקבל שקיימת $ 0<\theta <1 $ כך ש-$ f(x,y+\Delta y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\cdot \Delta y $ (זאת כי קיבענו את $ x $). לכן:
$ {\frac {\Delta G}{\Delta y}}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y+\theta \Delta y)\,\mathrm {d} x=G(y+\theta \Delta y)\xrightarrow {\Delta y\to 0} G(y)=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x $
כי $ G $ רציפה. כלומר, הראנו כי $ G'(y)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\int _{a}^{b}f(x,y)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x $.
שלב ב' - הוכחת המקרה הכללי
אנו רוצים לחשב את נגזרת הפונקציה
$ F(y)=\int _{a(y)}^{b(y)}f(x,y)\,\mathrm {d} x $.
לשם כך, נגדיר פונקציה חדשה
$ \phi (s,t,y)=\int _{s}^{t}f(x,y)\,\mathrm {d} x $
ונבחין כי
$ F(y)=\phi (a(y),b(y),y) $
מהמשפט היסודי הנגזרות החלקיות של $ \phi $ לפי $ s $ ולפי $ t $ הן
$ {\frac {\partial \phi }{\partial t}}(s,t,y)=f(t,y),\quad {\frac {\partial \phi }{\partial s}}(s,t,y)=-f(s,y) $
ואלו רציפות מההנחה ש-$ f(x,y) $ רציפה. בנוסף, מהמקרה הפרטי של המשפט, הנגזרת החלקית של $ \phi $ לפי $ y $ היא
$ {\frac {\partial \phi }{\partial y}}(s,t,y)=\int _{s}^{t}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x $
וזו פונקציה רציפה מההנחה ש-$ {\frac {\partial f}{\partial y}} $ רציפה. מכיוון שכל הנגזרות החלקיות של $ \phi $ קיימות ורציפות, נסיק שהיא דיפרנציאבילית. לכן גם $ F $ דיפרנציאבילית, ומכלל השרשרת מתקיים
$ {\begin{aligned}F'(y)&={\frac {\partial \phi }{\partial s}}(a(y),b(y),y)\cdot a'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial t}}(a(y),b(y),y)\cdot b'(y)+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}(a(y),b(y),t)\\&=-f(a(y),y)a'(y)+f(b(y),y)b'(y)+\int _{a(y)}^{b(y)}{\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\end{aligned}} $
כנדרש. $ \blacksquare $
דוגמאות
דוגמה 1 - גבולות התלויים במשתנה הגזירה
נחשב את הנגזרת הבאה ($ x>0 $):
$ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{x}^{x^{2}}{\frac {\cos t}{t}}\,\mathrm {d} t={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x^{2})-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x)={\frac {\cos(x^{2})}{x^{2}}}\cdot 2x-{\frac {\cos(x)}{x}}\cdot 1={\frac {2\cos(x^{2})-\cos(x)}{x}} $.
דוגמה 2 - שימוש בכלל לחישוב אינטגרלים
נחשב את האינטגרל
$ \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x $.
לשם כך, נסמן
$ f(\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x $
עבור $ \alpha \geq 0 $ והאינטגרל בו אנו מתעניינים הוא $ f(2) $. נגזור ונקבל
$ f'(\alpha )={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\int _{0}^{1}{\frac {x^{\alpha }-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left(e^{\alpha \ln(x)}-1\right)\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\ln(x)}}\ln(x)\cdot e^{\alpha \ln(x)}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}x^{\alpha }\,\mathrm {d} x=\left.{\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\right|_{x=0}^{1}={\frac {1}{\alpha +1}} $.
מכאן
$ f(\alpha )=\int {\frac {1}{\alpha +1}}\,\mathrm {d} \alpha =\ln(\alpha +1)+C $.
נבחין ש-$ f(0)=\int _{0}^{1}0\,\mathrm {d} x=0 $. אזי
$ f(0)=\ln(0+1)+C=C=0 $
כלומר
$ f(\alpha )=\ln(\alpha +1) $
ולכן
$ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-1}{\ln(x)}}\,\mathrm {d} x}=\ln(3) $.
קישורים חיצוניים
- כלל האינטגרל של לייבניץ, באתר MathWorld (באנגלית)
- על הכלל באתר Brilliant
Leibniz integral rule, סרטון באתר יוטיוב
ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים במכלול שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל".
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] כלל לייבניץ לגזירה תחת סימן האינטגרל30329827