כלליות האלגברה

בהיסטוריה של המתמטיקה, כלליות האלגברה היא ביטוי שטבע אוגוסטין לואי קושי כדי לתאר שיטת הסקה בעייתית שנעשה בה שימוש נרחב במאה ה-18 בידי מתמטיקאים כמו לאונרד אוילר וז'וזף לגראנז'. עקרון כלליות האלגברה הניח, בצורה גסה, שהכללים והחוקים האלגבריים אשר מחזיקים עבור קבוצה מסוימת של ביטויים ניתנים להרחבה לקבוצה רחבה יותר של אובייקטים, אפילו אם תקפות הכללים אינה מובנת מאליו יותר (ולעיתים אף אינה נכונה). כתוצאה, המתמטיקאים של המאה ה-18 האמינו שהם יוכלו לגזור תוצאות רבות משמעות באמצעות יישום הכללים הרגילים של האלגברה והחשבון האינפיניסטימלי אשר תקפים לביטויים סופיים גם כאשר משתמשים בהם כדי לעשות מניפולציות בביטויים אינסופיים. בעבודות כמו ה-Cours d'Analyse, קושי דחה את השימוש בשיטות נוסח "כלליות האלגברה" וחיפש בסיס ריגורוזי יותר לאנליזה מתמטית.

דוגמה לשיטה הזו, היא הדרך בה אוילר הוכיח את השוויון הבא:

${\frac {\pi -x}{2}}=\sin x+{\frac {1}{2}}\sin 2x+{\frac {1}{3}}\sin 3x+\cdots$

עבור $0<x<\pi$.

אוילר השתמש בנוסחה:

${\frac {1-r\cos x}{1-2r\cos x+r^{2}}}=1+r\cos x+r^{2}\cos 2x+r^{3}\cos 3x+\cdots$

והציב בה $r=1$. בשלב הזה אגף שמאל שווה לחצי, ולכן על ידי העברת אגפים מתקבל:

$0={\frac {1}{2}}+\cos x+\cos 2x+\cos 3x+\cdots .$

כעת, על ידי אינטגרציה של הטור איבר-איבר, נקבל את השוויון המבוקש.

במונחים מודרניים, בהתאם לגישתו של קושי, ההוכחה שגויה. לאחר ההצבה r=1, הטור האינסופי שהתקבל באגף ימין אינו מתכנס ובפרט אין משמעות לאינטגרל שלו. למרות זאת, התוצאה המתקבלת נכונה, וניתן להוכיח אותה גם בצורה ריגורוזית.

דוגמה נוספת לאותה גישה היא ההוכחה של אוילר כי טור ההופכיים של המספרים הראשוניים מתבדר וכן פתרונו של אוילר לבעיית בזל.