יחידה חוזרת

יחידה חוזרת (באנגלית: Repunit, הלחם בסיסים של repeated unit) הוא מספר טבעי שכל ספרותיו הם אחדות, כגון 1, 11 ו-11111. המספרים שהם יחידות חוזרות משתנים מבסיס ספירה אחד למשנהו. היחידה החוזרת בבסיס $b$ שלו $n$ ספרות מסומן $R_{n}^{(b)}$ .

הגדרה והצגה

לפי ההגדרה של ייצוג מספר בבסיס ספירה b יחידה חוזרת הוא סכום הטור הגאומטרי:

$R_{n}^{(b)}=\sum _{i=0}^{n-1}b^{i}=1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}$

כאשר הבסיס הוא בסיס אונארי ($b=1$) כל מספר הוא יחידה חוזרת ומתקיים $R_{n}^{(b)}=n$ . לפי הנוסחה לסכום טור גאומטרי, לכל בסיס $b>1$ מתקיים:

$R_{n}^{(b)}={\frac {b^{n}-1}{b-1}}$

למשל בשיטה העשרונית הנפוצה יחידות חוזרות הם מספרים מהצורה:

$R_{n}^{(10)}={\frac {10^{n}-1}{9}}$

למשל:

$R_{3}^{(10)}={\frac {1000-1}{9}}=111$

מקרה פרטי חשוב הוא בבסיס בינארי ($b=2$), אז מתקבל:

$R_{n}^{(2)}={\frac {2^{n}-1}{2-1}}=2^{n}-1$

כלומר היחידות החוזרות בבסיס בינארי הם מספרי מרסן.

מחלקים וראשוניות

אם $n$ מתחלק ב־$m$ אז $R_{n}^{(b)}$ מתחלק ב־$R_{m}^{(b)}$ . זאת בהסתמך על הזהות האלגברית הבסיסית:

${R_{m}^{(b)}\cdot \sum _{i=0}^{{\frac {n}{m}}-1}b^{im}=(1+b+b^{2}+\cdots +b^{m-1})(1+b^{m}+b^{2m}+\cdots +b^{n-m})=1+b+b^{2}+\cdots +b^{n-1}=R_{n}^{(b)}}$

לכן $R_{n}^{(b)}$ פריק אם $n$ פריק ו־$R_{n}^{(b)}$ יכול להיות ראשוני רק אם $n$ ראשוני. המשפט ההפוך אינו נכון – ייתכן כי $n$ ראשוני ו־$R_{n}^{(b)}$ פריק. למשל: $R_{3}^{(10)}=111=3\times 37$ .

בשל העניין הרב בבדיקת ראשוניות ופירוק לגורמים חוקרים רבים חיפשו יחידות חוזרות ראשוניים. היחידות החוזרות הראשוניים הראשונות בבסיס עשרוני הם

$R_{2}^{(10)},R_{19}^{(10)},R_{23}^{(10)},R_{317}^{(10)},R_{1031}^{(10)},\ldots$

נכון לשנת 2010 היחידה החוזרת הגדול ביותר החשוד כראשוני הוא $R_{270343}^{(10)}$ ולא נמצא חשוד אחר עד $R_{1300000}^{(10)}$ .

משערים כי בבסיסים מסוימים (למשל עשרוני ובינארי) ישנם אינסוף יחידות חוזרות ראשוניים, אולם טרם הוכח מקרה כזה. ידועים בסיסים בהם יש רק מספר סופי של יחידות חוזרות ראשוניים. למשל ידוע כי לכל $n$ מתקיים כי 3 תמיד מחלק את $2^{n}+1$ או את $2^{n}-1$ (כי הוא בוודאי לא מחלק את $2^{n}$ והוא חייב לחלק אחד מבין שלושה עוקבים) ולכן בבסיס 4: $R_{n}^{(4)}={\frac {4^{n}-1}{3}}={\frac {(2^{n}+1)(2^{n}-1)}{3}}$ הוא תמיד פריק למעט במקרה $R_{2}^{(4)}=5$ . בדרך דומה מראים כי $R_{3}^{(8)}=73$ הוא היחידה החוזרת הראשוני היחיד בבסיס 8, ושאין כלל יחידות חוזרות ראשוניים בבסיס 9.

מקרה חשוב במיוחד הוא מציאת יחידות חזרות ראשוניים בבסיס בינארי, הלו הם מספרי מרסן ראשוניים. ראשוניים כאלה משמשים למציאת מספרים משוכללים (מכל מספר מרסן ראשוני ניתן לבנות מספר משוכלל), ובאופן יחסי, קל לבדוק את הראשוניות שלהם. לכן המספרים הראשוניים הגדולים ביותר הידועים כיום הם מספרי מרסן.

השערת גורמאגטיג

השערת גורמאגטיג היא ההשערה שהמספרים היחידים שהם יחידות חוזרות עם יותר משלוש ספרות בשני בסיסים שונים (לא כולל בסיס אונרי), הם 31 (בבסיס 2 ו-5) ו-8191 (בבסיס 2 ו-90).