טרנספורמציה קנונית

במכניקה אנליטית, קואורדינטות קנוניות הן קואורדינטות המקיימות את משוואת המילטון ביחס לפונקציית המילטוניאן. טרנספורמציה קנונית היא מעבר של תיאור המערכת מסט אחד של קואורדינטות קנוניות $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ לסט אחר של קואורדינטות קנוניות $(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ . טרנספורמציה כזו יכולה להיכתב באופן ישיר באמצעות משוואות טרנספורמציה מהצורה $Q_{i}=Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t),P_{i}=P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ . ההמילטוניאן של המערכת יכול להשתנות בתהליך הטרנספורמציה.

במכניקה לגראנז'ית, המערכת מתוארת על ידי פונקציית הלגראנז'יאן שהיא פונקציה של הקואורדינטות והמהירויות המוכללות $L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ . כל טרנספורמציה של הקואורדינטות המוכללות $\mathbf {q} \to \mathbf {Q}$ יחד עם הגדרה של תנעים מוכללים חדשים $P_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q}}_{i}}}$ היא טרנספורמציה קנונית. טרנספורמציות מסוג זה נקראות טרנספורמציות נקודה (point transformation). טרנספורמציות קנוניות הן כלליות יותר, ומכילות טרנספורמציות שאינן טרנספורמציות נקודה.

טרנספורמציות קנוניות שלא כוללות את הזמן באופן מפורש נקראות טרנספורמציות קנוניות מוגבלות.

פיתוח באמצעות פונקציה יוצרת

נסתכל בשני סטים של קואורדינטות קנוניות $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)$ עם ההמילטוניאן $H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)$ ו- $(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ עם ההמילטוניאן $K(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ,t)$ . מאחר שהקורדינטות הן קנוניות, הן מקיימות את עיקרון הפעולה המינימלית של המילטון, כלומר:

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -H(p,q,t)\right]dt=\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}\left[\mathbf {P} \cdot \mathbf {\dot {Q}} -K(P,Q,t)\right]dt=0$

השוויון הזה מחייב ש:

$\lambda (\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -H)=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\dot {Q}} -K+{\frac {dF}{dt}}$

טרנספורמציות קנוניות בהן $\lambda \neq 1$ נקראות טרנספורמציות נרחבות (extended canonical transformation). ניתן לבצע טרנספורמציה מהצורה $p'=\mu p;q'=\nu q;H'=\lambda H=\mu \nu H$ (טרנספורמציית כזו נקראת טרנספורמציית סקאלה), כך שהטרנספורמציה מ- $(\mathbf {q} ',\mathbf {p} ',t)$ ל- $(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,t)$ היא טרנספורמציה עבורה $\lambda =1$ . כלומר כל טרנספורמציה היא הרכב של טרנספורמציה קנונית בה $\lambda =1$ על טרנספורמציית סקלה, ולכן מתייחסים רק לטרנספורמציות קנוניות בהן $\lambda =1$ . המשך הפיתוח יתייחס אף הוא רק לטרנספורמציות כאלה, המקיימות:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -H=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\dot {Q}} -K+{\frac {dF}{dt}}$

הפונקציה $F$ היא פונקציה ממרחב המכפלה של מרחב הפאזה והזמן. מאחר שמרחב הפאזה נפרס על ידי המשתנים המקוריים, ובשימוש במשוואות הטרנספורמציה, ניתן לפעמים לכתוב את הפונקציה $F$ כפונקציה עבורה חלק מהמשתנים הן הקואורדינטות הקנוניות הישנות $(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ וחלק מהמשתנים הן בקואורדינטות החדשות $(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )$ . אם ניתן לייצג את $F$ כפונקציה בה בדיוק חצי מהמשתנים הן בקואורדינטות החדשות וחצי הן בקואורדינטות הישנות, ניתן להשתמש בפונקציה $F$ כדי לקשר בין מערכות הקואורדינטות. במקרה כזה, היא נקראת הפונקציה היוצרת של הטרנספורמציה.

פונקציה יוצרת מסוג ראשון

אם הפונקציה היוצרת מוצגת כפונקציה של הקואורדינטות המרחביות החדשות והישנות - $F=F_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)$ , השוויון למעלה נותן:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -H=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\dot {Q}} -K+{\frac {dF}{dt}}=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\dot {Q}} -K+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}}{\dot {Q}}_{i}$

שוויון זה יכול להתקיים רק אם:

$p_{i}={\frac {\partial F_{1}}{\partial q_{i}}};P_{i}=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}};H=K+{\frac {\partial F_{1}}{\partial t}}{}$

קשרים אלו קובעים את הקשרים בין הקואורדינטות החדשות לישנות, ומגלות את ההמילטוניאן החדש.

לדוגמה: ניתן לבחור $F_{1}(\mathbf {q} ,\mathbf {Q} ,t)=\sum _{i=1}^{n}q_{i}Q_{i}$ . ומכאן: $p_{i}=Q_{i};P_{i}=-q_{i};H=K$ . כלומר הקואורדינטות המרחביות החדשות הן התנעים הקנוניים הישנים, והתנעים הקנוניים החדשים הם מינוס הקואורדינטות הישנות. דוגמה זו מדגישה את המעמד העצמאי של הקואורדינטות והתנעים הקנוניים בתיאוריה ההימלטוניאנית. למעשה, הקואורדינטות המרחביות לאו דווקא מקושרות למרחב, והתנעים הקנוניים אינם בהכרח מייצגים תנע במשמעות של מסה כפול מהירות. ההבדלה בין הקואורדינטות לתנעים מופיע רק בסימן של משוואות המילטון, ובשינוי סימן ניתן להחליף את תפקודיהם.

פונקציה יוצרת מסוג שני

אם הפונקציה היוצרת מוצגת כפונקציה של הקואורדינטות המרחביות הישנות והתנעים הקנוניים החדשים - $F=-\mathbf {Q} \mathbf {P} +F_{2}(\mathbf {q} ,\mathbf {P} ,t)$ , השוויון למעלה נותן:

$\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -H=\mathbf {P} \cdot \mathbf {\dot {Q}} -K+{\frac {dF}{dt}}=-\mathbf {Q} \cdot \mathbf {\dot {P}} -K+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}}{\dot {P}}_{i}$

שוויון זה יכול להתקיים רק אם:

$p_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial q_{i}}};Q_{i}={\frac {\partial F_{2}}{\partial P_{i}}};H=K+{\frac {\partial F_{2}}{\partial t}}$

פונקציה יוצרת מסוג זה משמשת בפיתוח משוואת המילטון־יעקובי. אם הפונקציה היוצרת היא פונקציה ליניארית של התנעים הקנוניים $\mathbf {P}$ כלומר $F_{2}=\sum _{i=1}^{n}f_{i}(\mathbf {q} ,t)P_{i}+g(\mathbf {q} ,t)$ נקבל ש $Q_{i}=f_{i}(\mathbf {q} ,t)$ והטרנספורמציה היא טרנספורמציית נקודה.

פונקציות יוצרות כלליות

באופן דומה, ניתן להגדיר פונקציות יוצרות מסוג שלישי $F=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} +F_{3}(\mathbf {p} ,\mathbf {Q} ,t)$ ורביעי $F=\mathbf {q} \cdot \mathbf {p} -\mathbf {Q} \cdot \mathbf {P} +F_{4}(\mathbf {p} ,\mathbf {P} ,t)$ או פונקציות יוצרות כלליות שמוצגות כשחלק מהקואורדינטות הן הקואורדינטות המרחביות וחלקן הן התנעים הקנוניים. לדוגמה: בשני ממדים ניתן לכתוב $F=-Q_{1}P_{1}+F'(q_{1},q_{2},P_{1},Q_{2},t)$ .

פיתוח ישיר

כאשר הטרנספורמציה לא תלויה ישירות בזמן, ההמילטוניאן של המערכת לא מתשנה עם הטרנספורמציה. נסתכל בטרנספורמציה מהצורה $Q_{i}=Q_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} );P_{i}=P_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )$ . מתקיים:

${\dot {Q}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}{\dot {p}}_{j}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}-{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial {H}}{\partial q_{j}}}$

בנוסף מתקיים:

${\frac {\partial H}{\partial P_{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial p_{j}}{\partial P_{i}}}{\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial P_{i}}}{\frac {\partial {H}}{\partial q_{j}}}$

ולכן ${\dot {Q}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial P_{i}}}$ אם ורק אם $\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}}\right)_{q,p}=\left({\frac {\partial p_{j}}{\partial P_{i}}}\right)_{Q,P};\left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{j}}}\right)_{q,p}=-\left({\frac {\partial q_{j}}{\partial P_{i}}}\right)_{Q,P}$ . באופן דומה ניתן להסתכל על ${\dot {P}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial Q_{i}}}$ ולקבל $\left({\frac {\partial P_{i}}{\partial p_{j}}}\right)_{q,p}=\left({\frac {\partial q_{j}}{\partial Q_{i}}}\right)_{Q,P};\left({\frac {\partial P_{i}}{\partial q_{j}}}\right)_{q,p}=-\left({\frac {\partial p_{j}}{\partial Q_{i}}}\right)_{Q,P}$ .

תנאים אלו נקראים התנאים הישירים עבור טרנספורמציות קנוניות מוגבלות.

סוגרי פואסון

סוגרי פואסון מוגדרים עבור כל סט של קואורדינטות קנוניות וכל שתי פונקציות על ידי $\{u,v\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial u}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{k}}}$ . סוגרי פואסון של קואורדינטות קנוניות אחרות מקיימת:

$\{Q_{i},P_{j}\}_{q,p}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial P_{j}}{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial Q_{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial P_{j}}{\partial q_{k}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial p_{k}}{\partial P_{i}}}{\frac {\partial P_{j}}{\partial p_{k}}}+{\frac {\partial q_{k}}{\partial P_{i}}}{\frac {\partial P_{j}}{\partial q_{k}}}={\frac {\partial P_{j}}{\partial {P_{i}}}}=\delta _{ij}$ .

באופן דומה ניתן להראות ש- $\{Q_{i},Q_{j}\}_{q,p}=0;\{P_{i},P_{j}\}_{q,p}=0$ .

יחסים אלו משמשים להוכיח שסוגרי פואסון אינווריאנטים תחת טרנספורמציה קנונית. כלומר לכל שתי פונקציות מתקיים $\{u,v\}=\{u,v\}_{\mathbf {q} ,\mathbf {p} }=\{u,v\}_{\mathbf {Q} ,\mathbf {P} }$ . תוצאה זו מאפשרת לנסח את חוקי המכניקה באמצעות שימוש בסוגרי פואסון, ללא הגדרת מערכת קואורדינטות כלל. לדוגמה: עבור כל פונקציה מתקיים ${\frac {du}{dt}}=\left\{u,H\right\}+{\frac {\partial u}{\partial t}}$ . ולכן מציאת סוגרי פואסון של פונקציה עם ההמילטוניאן של המערכת מאפשרת לדעת את התפתחות הפונקציה בזמן. לפיתוחים אלו חשיבות רבה במציאת חוקי שימור, ובמעבר למכניקת הקוונטים בה מוחלפים סוגרי פואסון בקומוטטורים של אופרטורים הרמיטיים.

משפט ליוביל

ערך מורחב – משפט ליוביל (מכניקה המילטונית)

משפט ליוביל קובע שהנפח במרחב הפאזה לא משתנה תחת טרנספורמציות קנוניות, כלומר מתקיים $\int d\mathbf {q} d\mathbf {p} =\int d\mathbf {Q} d\mathbf {P}$ . ההוכחה מתבססת על חישוב האינטגרל באמצעות היעקוביאן והוכחה שהיעקוביאן שווה 1 באמצעות התנאים הישירים.

$\int d\mathbf {Q} d\mathbf {P} =\int {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}d\mathbf {q} d\mathbf {p}$ אבל היעקוביאן מקיים: ${\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}={\frac {\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}{\frac {\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {P} )}}}={\frac {\frac {\partial (\mathbf {Q} )}{\partial (\mathbf {q} )}}{\frac {\partial (\mathbf {p} )}{\partial (\mathbf {P} )}}}={\frac {\det \left({\frac {\partial Q_{i}}{\partial q_{j}}}\right)}{\det \left({\frac {\partial p_{i}}{\partial P_{j}}}\right)}}=1$ , כשהשוויון האחרון מתקבל מהתנאים הישירים.

דוגמה

נתבונן בדוגמה של מתנד הרמוני חד ממדי. מתנד כזה יכול להיות מתואר באמצעות הקוארדינטות הקנוניות $q,p$ המתארות את המיקום והתנע הקווי של החלקיק, ומקיימות את ההמילטוניאן $H(q,p)={\frac {1}{2m}}\left(p^{2}+m^{2}\omega ^{2}q^{2}\right)$ . נקצה שההמילטוניאן בקואורדינטות החדשות יהיה פונקציה של התנע הקנוני בלבד. תנאי זה מתקיים אם נבחר $q=f(P)\cos(Q);p={\frac {f(P)}{m\omega }}\sin(Q)$ . נחפש פונקציה יוצרת מסוג ראשון לטרנספורמציה כזו. נקבל ש $m\omega q\cot(Q)=p={\frac {F_{1}(q,Q)}{\partial q}}\implies F_{1}(q,Q)={\frac {1}{2}}m\omega q^{2}\cot(Q)$ ולכן $P=-{\frac {\partial F_{1}}{\partial Q}}={\frac {m\omega q^{2}}{2\sin ^{2}Q}}$ ומכאן ניתן להפוך את הקשרים ולקבל:

$q={\sqrt {\frac {2P}{m\omega }}}\sin {Q};p={\sqrt {2m\omega P}}\cos(Q)$ . ההימלטוניאן בקואורדינטות החדשות הוא פשוט $H(Q,P)=\omega P$ ולכן ${\dot {Q}}=\omega \implies Q=\omega t+c$ כשהקבוע $c$ נקבע על ידי תנאי ההתחלה ו- ${\dot {P}}=0\implies P={\frac {E}{\omega }}$ כש- $E$ היא האנרגיה הקבועה והידועה של המערכת. בסה"כ התקבל $q={\sqrt {\frac {2E}{m\omega ^{2}}}}\sin(\omega t+c);p={\sqrt {2mE}}\cos(\omega t+c)$ שהוא הפתרון הידוע למתנד הרמוני. השיטה אותה הצגנו בה ההמילטוניאן הופך להיות פונקציה של התנעים הקנוניים בלבד ולא של הקואורדינטות המרחביות הקנוניות היא שיטה שניתנת ליישום כללי, ומסייעת בפתרון בעיות מסובכות יותר מהמתנד ההרמוני הפשוט.