חוג סופי באופן חלש

בתורת החוגים, חוג נקרא סופי באופן חלש (Weakly Finite) אם כל מטריצה ריבועית מעליו שהפיכה מימין היא גם הפיכה משמאל. תכונה זו חזקה יותר מהיותו של החוג בעל מספר בסיס קבוע. משפחות מוכרות ורחבות של חוגים מקיימות את התכונה.

הגדרה

יהי $R$ חוג. נאמר ש- $R$ הוא סופי באופן חלש מסדר $n$ אם לכל שתי מטריצות ריבועיות $A,B$ עם רכיבים מ- $R$ המקיימות $AB=I_{n}$ , מתקיים גם $BA=I_{n}$ .

החוג נקרא סופי באופן חלש אם הוא סופי באופן חלש מסדר $n$ לכל $n$ טבעי.

אם חוג $R$ איננו סופי באופן חלש, ניתן להגדיר אידיאל $J$ הנוצר על ידי רכיבי כל המטריצות מהצורה $I-BA$ עבור $A,B$ מטריצות כך ש- $AB=I$ , ולהביט בחוג המנה $R/J$ . על תהליך זה ניתן לחזור לכל סודר $\alpha$ ולקבל את האידיאלים $J^{\alpha }$ , ואם התהליך מסתיים אומרים שהחוג נהפך לחוג סופי באופן חלש.

מבנה

חוג $R$ שאיננו סופי באופן חלש מסדר 1 מכיל אינסוף אידמפוטנטים - אם $ab=1$ אך $ba\neq 1$ , האיברים מהצורה $e_{ij}=b^{i}(1-ba)a^{j}$ מהווים מערכת אידמפוטנטים אורתוגונלית.

ניתן לנסח את התנאי להיותו של חוג סופי באופן חלש בעזרת סדרה מדויקת של מודולים - אם $A,B\in M_{n}(R)$ כך ש- $AB=1$ , הסדרה הבאה מתפצלת:

$0\to P\to R^{n}{\overset {A}{\to }}R^{n}$

כאשר $P$ הוא הגרעין. הסדרה אכן מתפצלת משום שיש להעתקה $A$ הפכית $B$ . מודול פרויקטיבי $P$ נקרא טריוויאלי באופן יציב מסדר $n$ (stably trivial) אם יש סדרה כלעיל שמפצלת, או בשקילות $P\oplus R^{n}\cong R^{n}$ או בשקילות נוספת $P\cong \operatorname {Im} (I-BA)$ . אם כן, $R$ הוא סופי באופן חלש אם ורק אם המודול היחיד שטריוויאלי באופן יציב (מסדר כלשהו) הוא אפס.

כל חוג קומוטטיבי, חוג ארטיני וחוג נתרי הם סופיים באופן חלש. כל תת-חוג של חוג סופי באופן חלש גם הוא סופי באופן חלש; אם תמונה של חוג היא חוג סופי באופן חלש, כך גם החוג עצמו.

כל חוג סופי באופן חלש הוא בעל מספר בסיס קבוע. לכן כל דוגמה לחוג שאיננו בעל מספר בסיס היא גם דוגמה לחוג שאיננו סופי באופן חלש; הדוגמה המוכרת היא חוג אנדומורפיזמים מעל מרחב וקטורי אינסוף-ממדי. בנוגע לכיוון ההפוך, למשל חוג האפס הוא סופי באופן חלש אך איננו בעל מספר בסיס; דוגמאות מעניינות יותר הוצגו על ידי Cohn.

Malcolmson הוכיח שתהליך הפיכת חוג לחוג סופי באופן חלש (על ידי חילוק באידיאל $J$ כלעיל) מסתיים אחרי פעם אחת - כלומר, החוג $R/J$ הוא כבר סופי באופן חלש. Malcolmson השתמש באידיאל העקבה (trace ideal) $t(R)$ , והרים מודולים טריוויאליים באופן יציב מהמנה $R/t(R)$ אל $R$ . הוא גם הראה שכל הומומורפיזם מ- $R$ אל חוג סופי באופן חלש עובר דרך מנות מהצורה $R/J_{n}$ , כאשר $J_{n}=t(ST_{n}(R))$ - אידיאל העקבה של סכום כל המודולים הטריוויאליים באופן יציב מעל $R$ , ולבסוף הוכיח ש- $R/t(ST(R))$ (כאשר $ST(R)=\cup _{n\in \mathbb {N} }{ST_{n}(R)}$ ) הוא חוג סופי חלש.