משפט הבסיס של הילברט

במתמטיקה, משפט הבסיס של הילברט (Hilbert) קובע שאם $R$ חוג נתרי, אז גם חוג הפולינומים (במספר סופי של משתנים מרכזיים) מעל R מקיים את אותה תכונה. בפרט, אם $k$ הוא שדה, אז כל אידיאל בחוג הפולינומים ב-n משתנים $\,k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ נוצר על ידי מספר סופי של פולינומים. את המשפט הוכיח דויד הילברט בשנת 1888.

בשפה של גאומטריה אלגברית ניתן לנסח את המשפט כך: כל יריעה אלגברית ניתנת לתיאור כקבוצת האפסים המשותפים של מספר סופי של פולינומים.

המשפט תקף לגבי חוג בסיס לאו דווקא קומוטטיבי, ואזי את תכונת הנותריות יש להחליף באחת מבין התכונות: נותריות שמאלית, ימנית או חלשה (תנאי השרשרת העולה על אידיאלים דו-צדדיים). כל אחת מהן 'עולה' מ- $R$ ל- $R[x]$ .

למשפט גרסה במשתנים לא-קומוטטיביים אותה הוכיח שמשון עמיצור: באלגברה החופשית במספר סופי של יוצרים מעל תחום קומוטטיבי נותרי, כל שרשרת של אידיאלים ראשוניים שהמנות ביחס אליהם משוכנות במטריצות מעל חוג קומוטטיבי (מסדרים חסומים – כלומר דרגות PI חסומות) מתייצבת^[1].

למקרה של חוגי פולינומים מעוותים (skew-polynomial rings) ניתנו מספר הרחבות, בידי Singh ואחרים.

הוכחה

יהי $R$ חוג נתרי שמאלי. נניח בשלילה שהחוג $R[x]$ אינו נתרי שמאלי. לכן קיים אידיאל שמאלי $I\trianglelefteq R[x]$ שאינו נוצר סופית. נבנה סדרה של פולינומים $\{f_{0},f_{1},\dots \}$ באופן רקורסיבי: תחילה נבחר פולינום $f_{0}\neq 0$ ב- $I$ ממעלה מינימלית. יהי $n$ מספר טבעי, ונניח שנתונים האיברים $f_{0},f_{1},\dots ,f_{n-1}$ . יהי $I_{n}$ האידיאל השמאלי הנוצר על ידי $f_{0},f_{1},\dots ,f_{n-1}$ . נבחר את $f_{n}$ להיות איבר כלשהו של $I\setminus I_{n}$ ממעלה מינימלית. איבר כזה קיים לפי ההנחה ש- $I$ לא נוצר סופית. מכאן שהסדרה $\{\deg(f_{0}),\deg(f_{1}),\dots \}$ היא סדרה לא יורדת של שלמים אי שליליים. יהי $a_{n}$ המקדם המוביל של $f_{n}$ ויהי $J$ האידיאל השמאלי של $R$ הנוצר על ידי $a_{0},a_{1},\dots$ . מכיוון ש- $R$ חוג נתרי, שרשרת האידיאלים $(a_{0})\subset (a_{0},a_{1})\subset (a_{0},a_{1},a_{2})\subset \cdots$ מתייצבת. לכן קיים $N$ טבעי שעבורו $J=(a_{0},a_{1},\dots ,a_{N-1})$ . בפרט קיימים איברים $u_{0},u_{1},\dots ,u_{N-1}\in R$ כך ש- $a_{N}=\sum _{i<N}u_{i}a_{i}$ .

נגדיר את הפולינום: $g=\sum _{i<N}u_{i}x^{\deg f_{N}-\deg f_{i}}f_{i}$ . ל- $g$ ול- $f_{N}$ יש אותה מעלה ואותו מקדם מוביל. יתר על כן, $g\in I_{N}$ . מצד שני, $f_{N}\in I\setminus I_{N}$ . לכן $f_{N}-g\in I\setminus I_{N}$ והמעלה שלו קטנה יותר מזו של $f_{N}$ , בסתירה למינימליות.