החבורה הדיהדרלית האינסופית

בתורת החבורות, החבורה הדיהדרלית האינסופית הנה חבורה אינסופית, המכלילה את החבורה הדיהדרלית.

מבוא והגדרה

חבורה דיהדרלית סופית $D_{n}$ נוצרת על ידי סיבוב $r$ של ${\frac {360^{\circ }}{n}}$ ושיקוף $s$ ; כאשר סדר החבורה סופי, הסיבוב גם הוא בעל סדר סופי: $r^{n}=1$ . בנוסף, בין השיקוף לסיבוב מתקיים היחס $srs=r^{-1}$ .

בניגוד לכך, בחבורה הדיהדרלית האינסופית, הסדר של הסיבוב איננו סופי: זוהי החבורה הנוצרת על ידי שני איברים $r,s$ , המקיימים $s^{2}=1$ ו- $srs=r^{-1}$ . זוהי חבורה אינסופית, המסומנת $\operatorname {D} _{\infty }$ או $\operatorname {Dih} _{\infty }$ .

תכונות

כל חבורה דיהדרלית סופית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של חבורה ציקלית סופית ו- $\mathbb {Z} _{2}$ ; תכונה זו מוכללת לחבורה הדיהדרלית האינסופית: $\operatorname {D} _{\infty }\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} _{2}$
על ידי החלפת המשתנים $r$ ב- $sr$ , ניתן לקבל ייצוג נוסף של החבורה: $\langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle$ - מכפלה חופשית של שתי חבורות מסדר 2: $\mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2}$ .
חבורת האיזומטריות של $\mathbb {Z}$ איזומורפית לחבורה הדיהדרלית האינסופית.