החבורה הדיהדרלית האינסופית
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
בתורת החבורות, החבורה הדיהדרלית האינסופית הנה חבורה אינסופית, המכלילה את החבורה הדיהדרלית.
מבוא והגדרה
חבורה דיהדרלית סופית $ D_{n} $ נוצרת על ידי סיבוב $ r $ של $ {\frac {360^{\circ }}{n}} $ ושיקוף $ s $; כאשר סדר החבורה סופי, הסיבוב גם הוא בעל סדר סופי: $ r^{n}=1 $. בנוסף, בין השיקוף לסיבוב מתקיים היחס $ srs=r^{-1} $.
בניגוד לכך, בחבורה הדיהדרלית האינסופית, הסדר של הסיבוב איננו סופי: זוהי החבורה הנוצרת על ידי שני איברים $ r,s $, המקיימים $ s^{2}=1 $ ו-$ srs=r^{-1} $. זוהי חבורה אינסופית, המסומנת $ \operatorname {D} _{\infty } $ או $ \operatorname {Dih} _{\infty } $.
תכונות
- כל חבורה דיהדרלית סופית איזומורפית למכפלה חצי ישרה של חבורה ציקלית סופית ו-$ \mathbb {Z} _{2} $; תכונה זו מוכללת לחבורה הדיהדרלית האינסופית: $ \operatorname {D} _{\infty }\cong \mathbb {Z} \rtimes \mathbb {Z} _{2} $
- על ידי החלפת המשתנים $ r $ ב-$ sr $, ניתן לקבל ייצוג נוסף של החבורה: $ \langle x,y\mid x^{2}=y^{2}=1\rangle $ - מכפלה חופשית של שתי חבורות מסדר 2: $ \mathbb {Z} _{2}*\mathbb {Z} _{2} $.
- חבורת האיזומטריות של $ \mathbb {Z} $ איזומורפית לחבורה הדיהדרלית האינסופית.
ראו גם
החבורה הדיהדרלית האינסופית26377688