זרימה דחיסה במספרי מאך נמוכים

זרימה דחיסה במספרי מאך נמוכים (נקרא גם זרימה דחיסה זוחלת) היא תחום במכניקת זורמים העוסק בזורמים דחיסים (בעלי צפיפות משתנה, ρ≠const) אשר נעים במהירות איטית ולכן בעלי מספר מאך נמוך. בדרך כלל עבור מספר מאך קטן מ-0.3 נקבל שזורם דחיס מתנהג כזורם בלתי דחיס. אולם ישנה גם דחיסות הנובעת מצמיגות במספרי ריינולדס נמוכים, ובמקרים אלו נקבל שהדחיסות לא משפיעה על משוואות התנע כי האינרציה זניחה, אבל היא אכן משפיעה על משוואת הרציפות (משוואת שימור המסה).

התנהגות בלתי דחיסה במספרי מאך נמוכים

במהירויות נמוכות, עבור מספר מאך קטן מ-0.3 (Ma<0.3), הצפיפות של הזורם נשארת קבועה (בקירוב טוב), ולכן זורם דחיס מתנהג כמו זורם בלתי-דחיס. באווירודינמיקה, כאשר כלי טיס נעים באוויר, מולקולות האוויר בסמוך לכלי הטיס מופרעות וזזות בהתאם למבנה האווירודנמי ולמהירות. אך כאשר מדובר במהירויות נמוכות, בדרך כלל במהירויות של פחות מ-250mph (‏ 402.34 קמ"ש), מתקבל שצפיפות האוויר נשארת קבועה. מבחינה מתמטית:

שימור תנע:

$(1)\ \rho vdv=-dp$

זרימה איזנטרופית:

${dp \over p}=\gamma {d\rho \over \rho }$

$dp=\gamma {p \over \rho }d\rho =\gamma TRd\rho$

$(2)\ dp=c^{2}d\rho$

נציב את משוואה (2) ל (1):

$\rho vdv=-c^{2}d\rho$

$(3)\ -M^{2}{dv \over v}={d\rho \over \rho }$

• $v$ - מהירות הזורם
• $\rho$ - צפיפות הזורם
• $p$ - לחץ
• $M={c \over v}$ - מספר מאך
• $T$ - טמפרטורה
• $R$ - קבוע הגזים
• $c$ - מהירות הקול
• $\gamma ={C_{p} \over C_{v}}$ - יחס חום סגולי של גז (אינדקס אדיאבטי)

במספרי מאך קטנים (M<0.3), נקבל ש $M^{2}$ יהיה קטן מאוד, ולכן צד שמאל של המשוואה יהיה קטן מאוד. כלומר, נקבל שהשינוי בצפיפות יהיה קטן. ולכן בזרימה במספרי מאך נמוכים נוכל להזניח דחיסות.

זרימה בצינור

בעיה נפוצה במכניקת זורמים מתוארת על ידי משוואת האגן-פואזיי (Hagen–Poiseuille),המשוואה מתארת את פרופיל המהירות ואת פילוג הלחץ בזורם הזורם דרך צינור גלילי אופקי. נפתח את המשוואה עבור זרימה דחיסה במספרי מאך נמוכים.

הנחות:

(1) זרימה תמידית ${\frac {\partial }{\partial t}}=0$

(2) בעיה אקסיסימטרית ${\frac {\partial }{\partial \theta }}=0$

(3) הצינור ארוך ${R \over L}<<1$

(4) $M<<1;Re=\rho {v\bullet L \over \mu }<<1$

משוואת הרציפות (משוואת שימור המסה):

משוואת שימור התנע:

מאנליזה ממדית על משוואת התנע בכיוון z נקבל:

נעשה אינטגרציה פעמיים על מנת לקבל את פרופיל המהירות:

תנאי שפה:

• תנאי אי-החלקה: $v_{z}(r=R)=0$
• $v_{z}(r=0)=finite$

נציב את תנאי השפה ונקבל את C1 ואת C2 :

נרצה למצוא קשר בין הלחץ לצפיפות, ניעזר במשוואת המצב לגזים אידאליים:

עבור R=constant; T=constant, נקבל:

קיבלנו קשר לינארי בין הלחץ לצפיפות. נציב למשוואת הרציפות (I)  :

נבצע אינטגרציה לפי r על כל צד של המשוואה:

• מתנאי אי-חדירה: $v_{r}(r=R)=0$

נשווה בין צידי המשוואה ונקבל:

קיבלנו את פרופיל המהירות ואת פילוג הלחץ בצינור.

ראו גם

• זרימה דחיסה
• זרימה לא דחיסה
• מספר מאך
• מספר ריינולדס
• משוואת האגן-פואזיי

קישורים חיצוניים

• Mach Number- Role in Compressible Flows, NASA