זרימה בלתי דחיסה

זורם בלתי דחיס במכניקת הזורמים או באופן יותר כללי במכניקת הרצף, הוא זורם עבורו הצפיפות קבועה בכל נפח אינפיניטסימלי, אשר נע במהירות הזורם. או במילים אחרות, זורם יהיה בלתי דחיס כאשר הדיברגנץ של מהירות הזורם שווה לאפס (שקילות התנאים בנגזרת תוכח בהמשך).

בזרימה בלתי דחיסה, הזורם עצמו אינו בהכרח בלתי דחיס. כפי שמתואר בנגזרת בהמשך, בתנאים מסוימים נוכל להתייחס אפילו לזורם דחיס כאל זורם בלתי דחיס.

נגזרת

התנאי הבסיסי לזורם בלתי דחיס הוא שהצפיפות, $\rho$, תהיה קבועה בנפח אנפיניטסימלי, dV, שנע במהירות הזורם u.

מתמטית, אילוץ זה גורם לכך שהנגזרת המלווה של הצפיפות חייבת להתאפס על מנת להבטיח שהזורם יהיה בלתי דחיס. לפני שנתייחס לזה, נשתמש בשמירת מסה כדי ליצור את הייחס הנחוץ. המסה מתקבלת על ידי אנטגרל משולש של הצפיפות, $\rho$:

${m}={\iiint \limits _{V}\!\rho \,\mathrm {d} V}.$

להשגת שמירת מסה, נדרוש שהנגזרת בזמן של המסה בתוך נפח בקרה תהיה שווה לשטף המסי, J, העוברת דרך הגבולות של הנפח בקרה. מתמטית, נוכל להציג אילוצים אלו בצורת אנטגרל כפול:

${\partial m \over \partial t}={-\iint \limits _{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\subset \!\supset (\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} )}.$

הסימן השלילי מבטיח שהזורם היוצא נגרם כתוצאה מירידה במסה כתלות בזמן, כאשר משתמשים במוסכמה שלפיה וקטור הנורמל למשטח פונה כלפי חוץ. כעת, בעזרת משפט הדיברגנץ נוכל לגזור את הקשר בין הזורם לבין הנגזרת החלקית של הצפיפות בזמן:

${\iiint \limits _{V}{\partial \rho \over \partial t}\,\mathrm {d} V}={-\iiint \limits _{V}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} \right)\,\mathrm {d} V},$

לכן:

${\partial \rho \over \partial t}=-\nabla \cdot \mathbf {J} .$

על מנת להבטיח שהזורם יהיה בלתי דחיס, נרצה שהנגזרת החלקית של הצפיפות כתלות בזמן לא תעלם. כאשר אנו מדברים על נגזרת חלקית של צפיפות ביחס לזמן, אנו מתייחסים לקצב השינוי של "מיקום קבוע" בנפח בקרה. בעת שמאפשרים לנגזרת של הצפיפות להיות שונה מאפס, אנו לא מגבילים את עצמנו לזורם בלתי דחיס, מפני שהצפיפות יכולה להשתנות ממיקום קבוע לזורם אשר יזרום דרך נפח הבקרה. גישה זו נכונה ללא הגבלת הכלליות, ולא דורשת שנגזרת הצפיפות בזמן תעלם, כלומה זורם דחיס יכול עדיין להפוך לורם בלתי דחיס. נתעניין בשינוי של הצפיפות בנפח בקרה שנע במהירות הזורם u. הפונקציה המקשרת בין מהירות הזורם לבין השטף היא:

${\mathbf {J} }={\rho \mathbf {u} }.$

לכן על פי שימור מסה:

${\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }+{\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}=0.$

הקשר הקודם מתאר את משוואת הרצף. כעת, נשתמש בקשר הבא של נגזרת הצפיפות (בעזרת כלל השרשרת):

${\mathrm {d} \rho \over \mathrm {d} t}={\partial \rho \over \partial t}+{\partial \rho \over \partial x}{\mathrm {d} x \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial y}{\mathrm {d} y \over \mathrm {d} t}+{\partial \rho \over \partial z}{\mathrm {d} z \over \mathrm {d} t}.$

לכן אם נבחר נפח בקרה אשר נע בקצב הזורם (כלומר dx/dt, dy/dt, dz/dt) = v), נוכל לפשט את הביטוי לנגזרת המלווה:

${D\rho \over Dt}={\partial \rho \over \partial t}+{\nabla \rho \cdot \mathbf {u} }.$

ועל ידי שימוש במשוואת הרצף נקבל:

${D\rho \over Dt}={-\rho \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}.$

שינוי בזמן של הצפיפות משמעותו שהזורם איננו נדחס או מתפשט (או שהמסה בתוך נפח הבקרה dV השתנתה), מה שאסור. לכן עלינו לדרוש שהנגזרת המלווה של הצפיפות תעלם, ובאופן שקול (עבור צפיפות שונה מאפס) הדיברגנץ של מהירות הזורם גם כן תתאפס:

${\nabla \cdot \mathbf {u} }=0.$

לכן מתוך שימור מסה והאילוץ שהצפיפות בנפח בקרה אשר נע נשאר קבוע, הראינו שתנאי שקול לזורם בלתי דחיס הוא איפוס הדיברגנץ של מהירות הזורם.

התייחסות לדחיסות

בשדות מסוימים, ניתן למדוד את האי-דחיסות של זורם על ידי שינוי בצפיפות כתוצאה משינוי בלחץ. זוהי דחיסות הזורם.

$\beta ={\frac {1}{\rho }}{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} p}}.$

אם הדחיסות מספיק קטנה, הזורם נחשב בלתי דחיס.

התייחסות לשדה בלתי דחיס (סולנואידל)

זורם בלתי דחיס מתואר על ידי שדה המהירות. לשדה בלתי דחיס דיברגנץ השווה לאפס ובנוסף בעל רוטור שונה מאפס (כלומר אלמנט מסתובב). אחרת, אם לזורם בלתי דחיס רוטור שווה לאפס, אז הוא אי-רוטציוני, וזרימת שדה המהירות היא למעשה לפלסיאן.

הבדל בין זורם בלתי דחיס וחומר

כפי שהוגדר מקודם, עבור זורם בלתי דחיס:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\,$

וזה שקול ל:

${\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0$

כלומר ההנגזרת המלווה של הצפיפות שווה לאפס. לכן אם נעקוב אחרי אלמנט חומרי, הצפיפות המסה שלו תישאר קבועה. יש לשים לב שהנגזרת המלווה מורכבת משני ביטויים. הראשון ${\tfrac {\partial \rho }{\partial t}}$ מתאר את שינוי הצפיפות של אלמנט החומר בזמן. ביטוי זה נקרא גם הביטוי ה"לא יציב". הביטוי השני $\mathbf {u} \cdot \nabla \rho$ מתאר את שינוי הצפיפות עם תנועת האלמנט החומרי מנקודה לנקודה. זהו הביטוי של ההסעה עבור שדה סקלרי. על מנת שהזורם יהיה בלתי דחיס, סכום שני הביטויים צריך להתאפס.

מצד שני, חומר הומוגני ובלתי דחיס הוא חומר בעל צפיפות קבועה, עבורו $\rho ={\text{constant}}$. ולכן, :${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$ ו-:$\nabla \rho =0$ באופן בלתי תלוי. על פי משוואת הרצף מתקיים:

${\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \rho =0\Rightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} =0$

ולכן חומרים הומוגנים תמיד יתנהגו כמו זורם בלתי דחיס אך ההפך אינו נכון.

נפוץ למצוא מקורות בהם חוקר מזכיר זורם בלתי דחיס ומניח שהצפיפות קבועה. למרות שזה באופן טכני לא נכון, זו גישה מקובלת. אחד היתרונות בהנחת חומר בלתי דחיס על פני הנחת זורם בלתי דחיס היא במשוואת המומנט, בה ניתן להניח שהצמיגות הקינמטית ($\nu ={\tfrac {\mu }{\rho }}$) קבועה. נושא זה הוא לעיתים קרובות מקום לבלבול. לפיכך, הרבה אנשים מעדיפים להתייחס במפורש לחומרים בלתי דחיסים או זורם איזוכורי כאשר הם מתוארים במכניקה.

אילוצי זורם רלוונטיים

בדינמיקה של זורמים, זורם נחשב בלתי דחיס אם הדיברגנץ של מהירות הזורם מתאפסת. למרות זאת, משתמשים לפעמים בניסוחים אחרים, לפי צורת מערכת הזורם. גרסאות מסוימות מתוארות להלן:

1. זורם בלתי דחיס: ${\nabla \cdot \mathbf {u} =0}$. ניתן להניח צפיפות קבועה (בלתי דחיס) או צפיפות משתנה. צפיפות משתנה קובעת פתרונות הכוללים שינויים קטנים בצפיפות, לחץ או שדות טמפרטורה, ויכולה להרשות עבור לחץ ריבוד בתחום.
2. זורם לא גמיש: ${\nabla \cdot \left(\rho _{o}\mathbf {u} \right)=0}$. משתמשים בו בעיקר בתחום של מדעי האטמוספירה, אילוץ ה"אי-גמישות" מרחיב את נכונות הזורם הבלתי דחיס לצפיפות מרובדת או טמפרטורה ולחץ. זה מאפשר למשתנים של תרמודינמיקה להירגע למצב 'אטמוספירי' בסיסי באטמוספירה הנמוכה, בתחום המטאורולוגיה למשל. תנאי זה יכול לשמש גם עבור מערכות של אסטרו-פיזיקה שונות.
3. זורם מספר-מאך נמוך/פסאודו-אי דחיסות: $\nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta$. אילוץ מספר מאך הנמוך יכול להתקבל מגזירה של משוואת אוילר הדחיסה על ידי שימוש בניתוח בקנה מידה של כמויות בלתי ממדיות. המגבלה, בדומה למגבלה הקודמת בחלק זה, מאפשר הסרת גלים אקוסטיים, אך מאפשר גם הפרעות גדולות בצפיפות או טמפרטורה. ההנחה שהזורם נשאר בגבול מספר מאך (בדרך כלל פחות מ-0.3) עבור כל פתרון תהיה חוקית באמצעות אילוץ כזה. מאידך, בהתאם לכל הזורמים הבלתי דחיסים, הסטייה מהלחץ חייבת להיות קטנה יחסית למצב הבסיסי של הלחץ.

שיטות אלו מתבססות על הנחות נבדלות לגבי הזורם, אבל כולן לוקחות בחשבון את הצורה הכללית של האילוץ $\nabla \cdot \left(\alpha \mathbf {u} \right)=\beta$ עבור הפונקציות השונות $\alpha$ and $\beta$ של זורם כללי.

קירובים נומריים של זורם בלתי דחיס

משוואות הזרימה הבלתי דחיסה חמורות מטבען, כך שנדרש פיתוח של שיטות מתמטיות מיוחדות לצורך פתרונן. חלק משיטות אלו מכילות:

1. שיטת ההטלה (מקורבת ומדויקת)
2. שיטת הדחיסות המלאכותית (מקורבת)
3. דחיסות "לפני התניה"