השערת קולץ

בעיות פתוחות במתמטיקה:

האם תהליך חילוק ב-2 בזוגי והכפלה ב-3 פלוס 1 בלא זוגי, כשיחזור על עצמו שוב ושוב, יוביל לתוצאה 1 מכל מספר טבעי התחלתי?
(בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

השערת קולץ (Collatz) היא בעיה בתורת המספרים, הקשורה בהתייצבות של תהליך מספרי מסוים. ההשערה קרויה על-שם לותר קולץ, שפרסם אותה ב-1937, והיא ידועה גם בשמות השערת 3n + 1 או השערת אולם (על שם סטניסלב אולם).

מגדירים כלל, באופן הבא: מספרים זוגיים יש לחלק בשתיים, בעוד שמספרים אי-זוגיים יש להכפיל בשלוש ולהוסיף לתוצאה אחת. ההשערה היא שהפעלה חוזרת של כלל זה, על מספר טבעי כלשהו, תביא בסופו של דבר למספר 1, ואין זה משנה מהי נקודת ההתחלה. לדוגמה, הפעלת התהליך על המספר 11 מביאה ל-34, משם ל-17, ואחר-כך, לפי הסדר, $\ 52\rightarrow 26\rightarrow 13\rightarrow 40\rightarrow 20\rightarrow 10\rightarrow 5\rightarrow 16\rightarrow 8\rightarrow 4\rightarrow 2\rightarrow 1$ . בדוגמה זו, כמו במקרים רבים אחרים, מתקבלים מספרים גדולים יחסית, אך בסופו של דבר הירידות מתגברות על העליות, והתוצאה מגיעה ל-1.

השערה זו זכתה לפופולריות רבה, בעיקר משום שהיא קלה לתיאור וקל מאוד לתכנת ולבדוק אותה בעזרת מחשב. ההשערה נבדקה עבור מספרים עד ל- $\,5\cdot 2^{60}$ , אבל לא ידועה לה עדיין כל הוכחה. פול ארדש אמר על השערה זו כי "המתמטיקה עדיין לא מוכנה לבעיות כאלה", ואף הציע, כדרכו, פרס כספי בן 500 דולר למי שימצא לה הוכחה.

טיעון אינטואיטיבי כרוך בהערכת סדר הגודל של המספרים המעורבים. כל מספר זוגי מוכפל ב-1/2, ואילו מספר אי-זוגי מכפילים ב-3, ואחר-כך (מכיוון שהתוצאה לאחר הוספת 1 היא תמיד זוגית) מחלקים ב-2; אם-כך, המספר הוכפל (בקירוב) ב-3/2. אם מניחים שלשני האירועים "סיכויים שווים", הרי שבצעד ממוצע מכפילים את המספר המעורב בממוצע הגאומטרי של שני המספרים, כלומר ${\frac {\sqrt {3}}{2}}$ , ולכן הוא הולך וקטן. נימוק היוריסטי זה אינו מוכיח את הטענה, משום ששום דבר לא מבטיח שהסדרה תעבור דרך מספרים זוגיים באותו שעור כמו מספרים אי-זוגיים. כלומר מבחינה מתמטית צריכים הוכחה שאין מספר שלא יגדל לאינסוף למרות שזה נגד הסיכויים.