הרחבת חוג
![]() |
יש לשכתב ערך זה. הסיבה היא: תרגומכונה.
| |
יש לשכתב ערך זה. הסיבה היא: תרגומכונה. | |
באלגברה, הרחבת חוג של חוג R על ידי חבורה חילופית I היא זוג ( E, ) המורכב מחוג E והומומורפיזם חוגי שמתאים לרצף המדויק הקצר של חבורות חילופיות:
יש לזכור כי I הוא אז אידיאל דו צדדי של E. בהינתן חוג חילופי A, הרחבת-A מוגדרת באותו אופן על ידי החלפת "חוג" עם " אלגברה על A" ו "חבורה חילופית" עם "מודול - A ".
נאמר כי הרחבה היא טריוויאלית אם מתפצל; כְּלוֹמַר, נותן קטע שהוא הומומורפיזם .
מורפיזם בין הרחבות R על ידי I, על, לדוגמה, A, הוא הומומורפיזם אלגברה E → E ' המשרה את הזהויות ב- I ו- R. לפי למת החמישה, מורפיזם כזה הוא בהכרח איזומורפיזם, ולכן שתי הרחבות שוות ערך אם יש מורפיזם ביניהן.
דוגמאות
דוגמה 1
בוא ניקח את החוג של מספרים שלמים ובוא ניקח את הקבוצה החילופית (תחת חיבור) של מספרים בינאריים. ניקח E = , אנו יכולים להגדיר כפל על E באמצעות (כאשר הוא הומומורפיזם הממפה מספרים זוגיים ל-0 ומספרים אי-זוגיים ל-1). זה נותן את הרצף המדויק הקצר
איפה p הוא ההומומורפיזם .
דוגמה 2
כך את R להיות חוג חילופי ו- M להיות מודול-R. תן E = R ⊕ M להיות הסכום הישיר של חבורות חילופיות. הגדר את הכפל ב- E על ידי
אפשר לזהות את ( a, x ) עם a + εx כאשר ε בריבוע הוא אפס וכשמפשטים את ( a + εx ) ( b + εy ) מניבה את הנוסחה שלעיל; בפרט אנו רואים כי E הוא חוג. לאחר מכן יש לנו את הרצף המדויק הקצר
כאשר p ההקרנה. לפיכך, E הוא הרחבה של R על ידי M. תכונה מעניינת אחת של בנייה זו היא שהמודול M הופך לאידיאל של חוג חדש כלשהו. ב"local rings" שלו, נגאטה מכנה תהליך זה כעקרון האידיאליזציה .
קישורים חיצוניים
- E. Sernesi: דפורמציות של סכימות אלגבריות
- הרחבת חוג, באתר MathWorld (באנגלית)
הרחבת חוג34153096Q1166643