הרווח בין ראשוניים עוקבים

הרווח בין ראשוניים עוקבים הוא ההפרש בין זוג מספרים ראשוניים עוקבים, כלומר $\ g_{n}=p_{n+1}-p_{n}$ כאשר $p_{1}=2,\,p_{2}=3,\,p_{3}=5,\dots$ היא סדרת הראשוניים. הבנת ההתנהגות של הרווח הזה, על אף שאינה סדירה, מספקת הבנה עדינה של סדרת המספרים הראשוניים.

הרווחים הראשונים הם 1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2, ...

ממשפט המספרים הראשוניים נובע כי $\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0$ .

בשנת 1930 הראה גוידו הוהייסל (Guido Hoheisel) כי קיים מספר $\theta <1$ שמקיים $\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}},x\to \infty$ , כאשר $\pi$ היא פונקציית המספרים הראשוניים. זהו שיפור למשפט המספרים הראשוניים (השקול לטענה זו עבור $\theta =1$ ); הטענה חזקה יותר ככל ש- $\theta$ קטן יותר. מן הקירוב הזה נובע ש- $g_{n}<p_{n}^{\theta },\,$ עבור $n$ גדול מספיק. הוהסיאל הראה שאפשר לבחור $\theta =1-1/33000$ , וערך זה שופר ל- $1-1/250$ על ידי האנס היילברון (Hans Heilbronn), ואחר-כך ל- $\theta =3/4+\varepsilon$ עבור כל $\varepsilon >0$ , על ידי ניקולאי צ'ודקוב (Nikolai Chudakov). התקדמות משמעותית בהבנת הרווחים בין הראשוניים הושגה על ידי אלברט אינגהם (Albert Ingham), שהראה שאם $\zeta (1/2+it)=O(t^{c})\,$ עבור קבוע $c$ מסוים (בסימון אסימפטוטי וכאשר $\zeta$ היא פונקציית זטא של רימן), אז $\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}$ עבור כל $\theta >(1+4c)/(2+4c)$ . מכיוון שהקירוב לפונקציית זטא נכון לכל $c>1/6$ , אפשר להסיק שהטענה על $\pi$ נכונה לכל $\theta$ גדול מ- $5/8$ .

בשנת 2005 הוכח כי- $\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0$ ומאוחר יותר שיפרו את הטענה לערך $\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty$ .

לפי השערת המספרים הראשוניים התאומים, הערך $g_{n}=2$ אמור להתקבל אינסוף פעמים. בשנת 2013 הוכיח זהאנג כי $\ g_{n}<7\cdot 10^{7}$ אינסוף פעמים, ותוצאה זו שופרה בהמשך עד לטענה כי $\ g_{n}\leq 246$ אינסוף פעמים.