בחשבון אינטגרלי , הצבת ויירשטראס (מכונה גם ההצבה הטריגונומטרית האוניברסלית או הצבת טנגנס חצי-הזווית ) היא שיטה לחישוב אינטגרלים , אשר ממירה פונקציה רציונלית של פונקציות טריגונומטריות של
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
t
=
tan
x
2
{\displaystyle t=\tan {\frac {x}{2}}}
s
i
n
(
x
)
{\displaystyle sin(x)}
cos
(
x
)
{\displaystyle \cos(x)}
t
{\displaystyle t}
∫
f
(
sin
(
x
)
,
cos
(
x
)
)
d
x
=
∫
2
1
+
t
2
f
(
2
t
1
+
t
2
,
1
−
t
2
1
+
t
2
)
d
t
.
{\displaystyle \int f(\sin(x),\cos(x))\,dx=\int {\frac {2}{1+t^{2}}}f\left({\frac {2t}{1+t^{2}}},{\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\right)\,dt.}
לאחר המעבר לפונקציה רציונלית רגילה, האינטגרל ניתן לפתירה באמצעות פירוק לשברים חלקיים . ההצבה נקראת על שם קרל ויירשטראס (1815–1897) אף על פי שניתן למצוא אותה במפורש כבר בספר של לאונרד אוילר מ-1768, וסביר מאוד להניח שהייתה ידועה עוד לפני כן. מבין הטכניקות האלמנטריות להתרת אינטגרלים לא מסוימים , הצבה זאת נחשבת לאחת היותר "טריקיות", והנוסחאות הקשורות בה קשות יותר לזכירה.
גזירת הנוסחה על ידי שימוש בזהויות של זווית כפולה ובזהות הטריגונומטרית הפיתגוראית וחלוקת המונה והמכנה ב-
cos
2
x
2
,
{\textstyle \cos ^{2}{\tfrac {x}{2}},}
sin
x
=
2
sin
x
2
cos
x
2
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
=
2
tan
x
2
1
+
tan
2
x
2
=
2
t
1
+
t
2
,
cos
x
=
cos
2
x
2
−
sin
2
x
2
cos
2
x
2
+
sin
2
x
2
=
1
−
tan
2
x
2
1
+
tan
2
x
2
=
1
−
t
2
1
+
t
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2\sin {\tfrac {x}{2}}\,\cos {\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2\tan {\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[18mu]\cos x&={\frac {\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}
ולפי כללי גזירה , מקבלים
d
t
=
1
2
(
1
+
tan
2
x
2
)
d
x
=
1
+
t
2
2
d
x
,
{\textstyle dt={\tfrac {1}{2}}\left(1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}\right)dx={\frac {1+t^{2}}{2}}dx,}
d
x
=
2
1
+
t
2
d
t
.
{\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.}
.
אמצעי עזר גאומטרי איור: הצבת ויירשטראס קושרת בין זווית לשיפוע של ישר מסוים המחשה של הצבת ויירשטראס באמצעות הטלה סטריאוגרפית של מעגל מנמוניקה גאומטרית לשחזור נוסחאות הטרנספורמציה מתבססת על הצבת משולש ישר-זווית בעל זווית
φ
{\displaystyle \varphi }
זווית מרכזית במעגל (ראו איור). הזווית ההיקפית הנשענת על קשת המעגל המתאימה לזווית
φ
{\displaystyle \varphi }
φ
/
2
{\displaystyle \varphi /2}
דמיון משולשים בין משולשים AOB ו-ACE נקבל:
t
=
t
a
n
(
φ
2
)
=
s
i
n
(
φ
)
1
+
c
o
s
(
φ
)
⟹
t
=
1
−
c
o
s
2
(
φ
)
1
+
c
o
s
(
φ
)
{\displaystyle t=tan({\frac {\varphi }{2}})={\frac {sin(\varphi )}{1+cos(\varphi )}}\implies t={\frac {\sqrt {1-cos^{2}(\varphi )}}{1+cos(\varphi )}}}
מכאן נקבל:
t
=
1
−
c
o
s
(
φ
)
1
+
c
o
s
(
φ
)
⟹
c
o
s
(
φ
)
=
1
−
t
2
1
+
t
2
{\displaystyle t={\sqrt {\frac {1-cos(\varphi )}{1+cos(\varphi )}}}\implies cos(\varphi )={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}}
ומהנוסחה ל-
c
o
s
φ
{\displaystyle cos\varphi }
s
i
n
φ
=
2
t
1
+
t
2
{\displaystyle sin\varphi ={\frac {2t}{1+t^{2}}}}
דוגמאות דוגמה ראשונה: אינטגרל הקוסקנט
∫
csc
x
d
x
=
∫
d
x
sin
x
=
∫
(
1
+
t
2
2
t
)
(
2
1
+
t
2
)
d
t
t
=
tan
x
2
=
∫
d
t
t
=
ln
|
t
|
+
C
=
ln
|
tan
x
2
|
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}
דוגמה שנייה: אינטגרל מסוים
∫
0
2
π
d
x
2
+
cos
x
=
∫
0
π
d
x
2
+
cos
x
+
∫
π
2
π
d
x
2
+
cos
x
=
∫
0
∞
2
d
t
3
+
t
2
+
∫
−
∞
0
2
d
t
3
+
t
2
t
=
tan
x
2
=
∫
−
∞
∞
2
d
t
3
+
t
2
=
2
3
∫
−
∞
∞
d
u
1
+
u
2
t
=
u
3
=
2
π
3
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}
ראו גם קישורים חיצוניים הצבת ויירשטראס 36830855 Q663628
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&={\frac {2\sin {\tfrac {x}{2}}\,\cos {\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2\tan {\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}},\\[18mu]\cos x&={\frac {\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}-\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\tfrac {x}{2}}+\sin ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}{1+\tan ^{2}{\tfrac {x}{2}}}}={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0e0db3590824f5019d21786ee97ec792c129906)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \csc x\,dx&=\int {\frac {dx}{\sin x}}\\[6pt]&=\int \left({\frac {1+t^{2}}{2t}}\right)\left({\frac {2}{1+t^{2}}}\right)dt&&t=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int {\frac {dt}{t}}\\[6pt]&=\ln |t|+C\\[6pt]&=\ln \left|\tan {\frac {x}{2}}\right|+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30179a5d12651d673761823ec950c1719690eecb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}&=\int _{0}^{\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}+\int _{\pi }^{2\pi }{\frac {dx}{2+\cos x}}\\[6pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}+\int _{-\infty }^{0}{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}&t&=\tan {\frac {x}{2}}\\[6pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,dt}{3+t^{2}}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {3}}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {du}{1+u^{2}}}&t&=u{\sqrt {3}}\\[6pt]&={\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b793337dc43587ae173d41f14945ee86b3f98f2)
