אקסיומה

אַקְסיּוֹמָה, אמיתה, או הנחת יסוד (בכתיב ארכאי: אכּסיוֹמה) היא הנחה אשר מתייחסים אליה במסגרת מסוימת כנכונה מבלי להוכיחה. מקור המילה "אקסיומה" הוא מיוונית עתיקה (αξιωμα), ופירושה המקורי הוא "עיקרון מובן מאליו", שאינו מצריך הוכחה.

במתמטיקה ובלוגיקה, אקסיומה היא הנחה בסיסית (או "נקודת מוצא") במערכת לוגית מסוימת, אליה מתייחסים כנכונה באותה מערכת. טעות נפוצה היא שאקסיומות הן "אמת אינטואיטיבית ובסיסית הברורה מאליה", אולם כיום אקסיומות אינן בהכרח כאלה, אלא רק סיפוק הנחת יסוד אותה אין מנסים להוכיח או להפריך במסגרת הזאת. השילוב בין מספר אקסיומות נקרא מערכת אקסיומטית. מערכת האקסיומות של תאוריה מתמטית מהווה בסיס להוכחה של המשפטים הנכללים בתורה זו.

בפיזיקה, אקסיומה או פוסטולט היא הנחה בסיסית אשר נבדקה בניסוי, ולכן מתייחסים אליה כנכונה, כל עוד אותה ההנחה לא הופרכה בניסוי, כלומר לא התבררה כשגויה.

אקסיומות במתמטיקה

כדי שמערכת אקסיומות תהווה בסיס נאות לפיתוחה של תאוריה מתמטית, עליה למלא שתי דרישות:

• עקביות: לא ניתן להוכיח בעזרת האקסיומות דבר והיפוכו.
• מינימליות: במערכת האקסיומות אין אקסיומה מיותרת, כזו שאפשר להוכיח באמצעות האקסיומות האחרות.

קיום מודל של מערכת האקסיומות מוכיח שהיא עקבית. בדומה לזה, קיום מודל שבו כל האקסיומות מתקיימות פרט לאחת (שהיא אינה מתקיימת במודל הזה), מראה שאותה אקסיומה אינה ניתנת להשמטה; אם יש מודל כזה עבור כל אחת מהאקסיומות, הרי שהמערכת מינימלית.

דרישה נוספת רצויה היא דרישת השלמות, כלומר הדרישה שבאמצעות מערכת האקסיומות של תורה כלשהי ניתן יהיה להוכיח או להפריך כל טענה שניתן לנסח במסגרת תורה זו. אולם משפטי האי-שלמות של גדל מוכיחים שבכל מערכת עשירה מספיק של אקסיומות, לא ניתן לקיים דרישה זו מבלי לוותר על דרישת העקביות.

המפגש הראשון (ופעמים רבות גם האחרון) של התלמיד עם מערכת אקסיומטית נעשה במסגרת לימודי הגאומטריה. האקסיומה המפורסמת במסגרת זו היא אקסיומת המקבילים. ניסיונות רבים נעשו במטרה להוכיח אקסיומה זו על ידי יתר האקסיומות של הגאומטריה, עד שלבסוף נוסחה הגאומטריה הלא-אוקלידית – בה מתקיימות האקסיומות האחרות אבל אקסיומת המקבילים אינה נכונה. פריצת דרך זו הראתה שהאקסיומות אינן בגדר טענות "מובנות מאליהן", אלא לפעמים ניתן להחליף אקסיומה בשלילתה, ובכל זאת לקבל מערכת אקסיומות עקבית.

אף שרעיון האקסיומה הוא מאבני היסוד של המתמטיקה, התפתחו ענפי מתמטיקה רבים ללא ביסוס אקסיומטי כלל, או עם בסיס אקסיומטי רופף. בשלהי המאה ה-19 ובתחילת המאה ה-20 עסקו המתמטיקאים באינטנסיביות בביסוס אקסיומטי של המתמטיקה, ונבחנו היטב מערכות האקסיומות שבבסיס הגאומטריה (מערכת האקסיומות של הילברט), האריתמטיקה (אקסיומות פאנו) ותורת הקבוצות (אקסיומות צרמלו-פרנקל). רק בשנת 1933 ניתן בסיס אקסיומטי לתורת ההסתברות (אקסיומות קולמוגורוב).

אקסיומות בפיזיקה

בפיזיקה, הנחת היסוד היא חוק טבע ממנו מקישים חוקים פיזיקליים נוספים, כלומר בונים תאוריה פיזיקלית. כל עוד תוצאות בניסויים קרובות מספיק למערכת החוקים, נאמר שהתאוריה והנחת היסוד תקפות.

דוגמה בולטת לשימוש באקסיומות בפיזיקה הוא המעבר ההיסטורי בין תורת האתר (שנחשבה לנכונה עד המאה ה-19) לבין תורת היחסות הפרטית (שנחשבת לנכונה כיום על פי תוצאות ניסויים). תורת האֶתֶר גרסה שיש חומר הממלא את כל המרחב, והאור נע בו במהירות קבועה. בניסוי מייקלסון-מורלי נמדדה מהירות הקפת כדור הארץ סביב השמש יחסית לאתר, ותוצאת המדידה הייתה 0 (מה שהצביע על כך שכדור הארץ אינו נע, או שאֶתֶר אינו קיים). את ההנחה הזו החליפה ההנחה המקובלת כיום, שהאור נע במהירות קבועה ביחס לכל צופה אינרציאלי. ניסוי מייקלסון-מורלי הפריך הנחה אחת בו בזמן שרמז על ההנחה הנכונה יותר, הנחה שהובילה בסופו של דבר לניסוח תורת היחסות הפרטית על ידי אלברט איינשטיין.

ראו גם

מתמטיקה ולוגיקה

• לוגיקה מתמטית
• עצמאות אקסיומה
• שפה מסדר ראשון
• משפטי האי-שלמות של גדל
• מה שהצב אמר לאכילס

פיזיקה

• תורת היחסות הפרטית
• אתר (פיזיקה)
• מהירות האור

קישורים חיצוניים

• אקסיומה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

39572428אקסיומה