המעגלים התאומים של ארכימדס

המעגלים התאומים (באדום) של הארבלוס (התחום האפור)

בגאומטריה, המעגלים התאומים של ארכימדס, במיוחד בנוגע לחקר צורת הארבלוס, הם שני מעגלים מיוחדים המקושרים אליו.

ארבלוס הוא צורה הנקבעת על ידי שלוש נקודות הנמצאות על ישר אחד $A,B,C$ , והוא האזור התחום בין שלושת חצאי המעגלים אשר $AB,BC,AC$ הם הקטרים שלהם. אם לאחר מכן הארבלוס מחולק לשני תחומים קטנים יותר על ידי קטע ישר דרך $B$ המאונך לישר $ABC$ , אז כל אחד משני המעגלים התאומים נח בתוך אחד משני התחומים האלה, ומשיק לאחד משני חצאי המעגלים הקטנים, לחצי המעגל הגדול, ולקו המחלק את הארבלוס.

המעגלים הופיעו לראשונה בספר הלמות, אשר בו מופיעה ההוכחה (טענה 5) ששני המעגלים חופפים. ת'אבת אבן קורה, אשר תרגם את הספר הזה לערבית, ייחס את הספר למתמטיקאי היווני ארכימדס. בהתבסס על הטענה בספר שהמעגלים האלה חופפים, שני המעגלים האלו נקראים המעגלים התאומים של ארכימדס.

תכונות

יהיו $a,b$ הקטרים של שני חצאי המעגלים הקטנים, כך שלחצי המעגל הגדול יש קוטר $a+b$ . קוטרם המשותף של כל אחד משני המעגלים התאומים הוא:

$d={\frac {ab}{a+b}}$

או באופן חלופי, אם קוטר חצי המעגל הגדול הוא באורך יחידה אחת, ולמעגלים הפנימיים יש קטרים $r,1-r$ , אז קוטר כל אחד מהמעגלים התאומים הוא:

$d=r(1-r)$

למעגל הקטן ביותר המכיל את שני המעגלים התאומים יש שטח זהה לשטח הארבלוס.