הלמה של בורל-קנטלי

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.^[1]^[2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.

נוסח פורמלי

יהי $(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ מרחב הסתברות, ותהי $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ סדרה של מאורעות.

נתבונן במאורע הבא,

\left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}

.

הלמה הראשונה של בורל-קנטלי

אם מתקיים כי $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)<\infty$ , אז $\mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=0$

הלמה השנייה של בורל-קנטלי

נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.^[3] אם מתקיים כי $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\infty$ , אז $\mathbb {P} \left(\limsup _{i}A_{i}\right)=1$ .

נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע $\limsup _{i}\left(A_{i}\right)$ הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.

הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.

הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות

נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר $A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset ...$ . נשים לב כי במקרה זה, $\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\left\{\exists _{j},A_{j}{\text{ occures}}\right\}$ . אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים $\left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ שעבורה $\sum _{k=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i_{k+1}}\mid A_{i_{k}}^{c}\right)=\infty$ .

הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה

הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.

נתבונן במאורעות $A_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right]$ במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על $\left[0,1\right]$ . מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן $\ A_{i}$ גורר את $\ A_{j}$ לכל $i<j$ . ואכן, למרות שמתקיים $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\infty$ , עדיין $\mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=\mathbb {P} \left(\left\{0\right\}\right)=0$ .

ראו גם

משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
מספר נורמלי

הערות שוליים

^ E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
^ F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $i_{1},...,i_{k}$ , לכל קבוצת מאורעות $A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}$ , מתקיים כי $\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)$ .

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הלמה של בורל-קנטלי28455478

[1] E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.

[2] F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.

[3] כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $i_{1},...,i_{k}$ , לכל קבוצת מאורעות $A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}$ , מתקיים כי $\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)$ .

[1]

[2]

[3]

הלמה של בורל-קנטלי

תוכן עניינים