הלמה של בורל-קנטלי
בערך זה |
הלמה של בורל-קנטלי הוא שם כולל לשניים או שלושה משפטים יסודיים בתורת ההסתברות, שנוסחו והוכחו על ידי אמיל בורל ופרנצ'סקו פאולו קנטלי בראשית המאה ה-20.[1][2] המשפטים עוסקים בסדרת מאורעות בת-מניה, וקובעים בתנאים מסוימים את ההסתברות של המאורע שבו מתרחשים אינסוף מתוך מאורעות הסדרה.
נוסח פורמלי
יהי $ (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ) $ מרחב הסתברות, ותהי $ \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } $ סדרה של מאורעות.
נתבונן במאורע הבא, $ {\displaystyle \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}} $.
הלמה הראשונה של בורל-קנטלי
אם מתקיים כי $ \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)<\infty $, אז $ \mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=0 $
הלמה השנייה של בורל-קנטלי
נניח כי המאורעות כולם בלתי-תלויים.[3] אם מתקיים כי $ \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\infty $, אז $ \mathbb {P} \left(\limsup _{i}A_{i}\right)=1 $.
נשים לב שמתוך הנחת אי התלות יחד עם התובנה כי המאורע $ \limsup _{i}\left(A_{i}\right) $ הוא מאורע זנב, נובע מחוק האפס-אחד של קולמוגורוב כי ההסתברות למאורע זה היא בהכרח 0 או 1. הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי אם הטור הנ"ל מתבדר, הרי שההסתברות למאורע זה היא 0.
הערה: למעשה ניתן להחליש את דרישת אי התלות ולדרוש אי-תלות בזוגות בלבד. כלומר, שכל זוג של מאורעות מתוך האוסף הוא בלתי-תלוי.
הלמה של בורל-קנטלי לסדרה עולה של מאורעות
נניח כי סדרת המאורעות עולה, כלומר $ A_{1}\subset A_{2}\subset A_{3}\subset ... $. נשים לב כי במקרה זה, $ \limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\left\{\exists _{j},A_{j}{\text{ occures}}\right\} $. אזי הסתברותו של מאורע זה היא 1, אם ורק אם קיימת סדרה עולה ממש של אינדקסים $ \left\{i_{k}\right\}_{k=1}^{\infty } $ שעבורה $ \sum _{k=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i_{k+1}}\mid A_{i_{k}}^{c}\right)=\infty $.
הכרחיות דרישת אי התלות בלמה השנייה
הלמה השנייה של בורל-קנטלי משלימה את הלמה הראשונה בכך שהיא מוכיחה את הכיוון ההפוך, אלא שהיא חלה רק כאשר המאורעות בלתי-תלויים. אכן, אם המאורעות תלויים הטענה אינה נכונה, כפי שמראה הדוגמה הנגדית הבאה.
נתבונן במאורעות $ A_{n}=\left[0,{\frac {1}{n}}\right] $ במרחב ההסתברות של ההתפלגות האחידה על $ \left[0,1\right] $. מאורעות אלה תלויים כמובן, שכן $ \ A_{i} $ גורר את $ \ A_{j} $ לכל $ i<j $. ואכן, למרות שמתקיים $ \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{i}}=\infty $, עדיין $ \mathbb {P} \left(\limsup _{i}\left(A_{i}\right)\right)=\mathbb {P} \left(\left\{0\right\}\right)=0 $.
ראו גם
- משפט הקוף המקליד - מקרה פרטי של הלמה של בורל קנטלי
- מספר נורמלי
הערות שוליים
- ↑ E. Borel, "Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmetiques" Rend. Circ. Mat. Palermo (2) 27 (1909) pp. 247–271.
- ↑ F.P. Cantelli, "Sulla probabilità come limite della frequenza", Atti Accad. Naz. Lincei 26:1 (1917) pp.39–45.
- ↑ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $ i_{1},...,i_{k} $, לכל קבוצת מאורעות $ A_{i_{1}},...,A_{i_{k}} $, מתקיים כי $ \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right) $.
הלמה של בורל-קנטלי28455478