חוק האפס-אחד של קולמוגורוב

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב.^[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.

באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.

מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.

ניסוח המשפט

נוסח ראשון: יהי $(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ מרחב הסתברות, ותהי $\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ קבוצה בת-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.^[2]

נגדיר "מאורע זנב" $A\in {\mathcal {F}}$ להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך $\left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ .^[3]

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב $A$ , מתקיים $\mathbb {P} \left(A\right)=0$ או $\mathbb {P} \left(A\right)=1$ .

נוסח שני: יהי $(X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ מרחב הסתברות, ותהי $\left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ קבוצה בת-מניה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב- ${\mathcal {F}}$ ובלתי-תלויות.^[4]

עבור $n=0,1,2,...$ , נגדיר ${\mathcal {T}}_{n}=\sigma \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }F_{i}\right)$ , ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, ${\mathcal {T}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {T}}_{n}$ .^[5] מאורעות ${\mathcal {T}}$ מכונים "מאורעות זנב".

חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע $A\in {\mathcal {T}}$ מתקיים $\mathbb {P} \left(A\right)=0$ או $\mathbb {P} \left(A\right)=1$ .

הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת $F_{i}=\sigma \left(X_{i}\right)$ , כלומר $F_{i}$ היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה $X_{i}$ מדיד.

הוכחה

המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.

למה: תהי ${\mathcal {A}}$ אלגברה של קבוצות על $X$ . תהי ${\mathcal {F}}=\sigma \left({\mathcal {A}}\right)$ .

אזי לכל $A\in {\mathcal {F}}$ , לכל $\epsilon >0$ קיימת $B\in {\mathcal {A}}$ , כך שמתקיים $\mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon$ .

הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את ${\mathcal {A}}$ , ולכן היא מכילה את ${\mathcal {F}}$ .

נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.

עבור $n=1,2,3,...$ נגדיר ${\mathcal {G}}_{n}=\sigma \left(F_{1},...,F_{n-1}\right)$ , ונגדיר ${\mathcal {G}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{n}$ . נשים לב כי ${\mathcal {G}}$ היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים ${\mathcal {T}}_{1}=\sigma \left({\mathcal {G}}\right)$ .

בהינתן מאורע $A\in {\mathcal {T}}$ , מהלמה נובע כי לכל $\epsilon >0$ יש מאורע $B\in {\mathcal {G}}$ שעבורו מתקיים $\mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon$ , כלומר $\mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon$ .

יהי $N$ שעבורו $B\in {\mathcal {G}}_{N}$ . נשים לב כי $A\in {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {T}}_{N+1}$ , ולכן $A,B$ בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי $\mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(A\cap B\right)=\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \left(\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon \right)$ .

אבל $\epsilon$ שרירותי, ולכן נובע כי $\mathbb {P} \left(A\right)=\mathbb {P} \left(A\right)^{2}$ , כלומר $\mathbb {P} \left(A\right)=0$ או $\mathbb {P} \left(A\right)=1$ .

דוגמאות

נתבונן במרחב $X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} }$ , עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה $C\left(a,n\right)=\left\{\mathbf {x} \in X\mid x_{n}=a\right\}$ (כאשר $x_{n}$ הוא הקואורדינטה ה- $n$ של $\mathbf {x}$ ), עבור $a\in \left\{0,1\right\}$ כלשהו.

נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות $\mathbb {P} \left(C\left(a,n\right)\right)={\frac {1}{2}}$ לכל $a$ ולכל $n$ . ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.

עבור $i=1,2,3,...$ נגדיר $F_{i}=\sigma \left(C\left(0,i\right)\right)$ , ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים $X_{i}\left(\mathbf {x} \right)={\frac {x_{i}}{i}}$ .

אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:

$\left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\}$
$\left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\}$
$\left\{\mathbf {x} \in X\mid \limsup _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<c\right\}$ לאיזשהו $c\in \mathbb {R}$

היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי

באופן כללי יותר, אם $\left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }$ אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע $\left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i}$ הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.

הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור $\sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right)$ מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות $\mathbb {P} \left(\limsup _{i\to \infty }A_{i}\right)=0$ .

לקריאה נוספת

אנדריי קולמוגורוב, Foundations of the Theory of Probability,‏ 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"

הערות שוליים

^ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $i_{1},...,i_{k}$ , לכל קבוצת מאורעות $A_{i_{1}},...,A_{i_{k}}$ , מתקיים כי $\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)$ .
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $i_{1},...,i_{k}$ , עבור $X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}$ , מתקיים כי $\mathbb {P} \left(A\mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\right)$ .
^ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $i_{1},...,i_{k}$ , לכל קבוצת מאורעות $A_{i_{1}}\in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}}\in F_{i_{k}}$ , מתקיים כי $\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap ...\cap A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(A_{i_{k}}\right)$ .
^ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.