חוק האפס-אחד של קולמוגורוב
בערך זה |
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב הוא משפט יסודי בתורת ההסתברות שהוכיח המתמטיקאי אנדריי קולמוגורוב.[1] המשפט מתאר מאורעות המכונים "מאורעות זנב", שהסתברותם יכולה להיות 0 או 1 בלבד.
באופן לא לגמרי פורמלי, "מאורע זנב" הוא מאורע שניתן לתיאור על ידי אוסף בן-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים, מבלי שהוא תלוי באף קבוצה סופית של משתנים מקריים מתוך האוסף. כל מאורע כזה, קובע חוק האפס-אחד, הוא בהכרח קורה או בהכרח לא קורה בהסתברות 1.
מאורעות זנב מתוארים בדרך-כלל כמאורעות גבוליים. כך למשל, באופן לחלוטין לא פורמלי, מאורע מהסוג של "הסכום האינסופי של סדרת משתנים מקריים מסוימת - מתכנס למספר סופי" הוא מאורע שאינו תלוי כמובן באף קבוצה סופית מתוך סדרת המשתנים המקריים, ולכן הוא מאורע זנב. דוגמה פורמלית למאורע זנב כזה מובאת בהמשך.
ניסוח המשפט
נוסח ראשון: יהי $ (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ) $ מרחב הסתברות, ותהי $ \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } $ קבוצה בת-מניה של משתנים מקריים בלתי-תלויים.[2]
נגדיר "מאורע זנב" $ A\in {\mathcal {F}} $ להיות מאורע שהסתברותו אינה תלויה באף קבוצה סופית מתוך $ \left\{X_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } $.[3]
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע זנב $ A $, מתקיים $ \mathbb {P} \left(A\right)=0 $ או $ \mathbb {P} \left(A\right)=1 $.
נוסח שני: יהי $ (X,{\mathcal {F}},\mathbb {P} ) $ מרחב הסתברות, ותהי $ \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } $ קבוצה בת-מניה של סיגמא אלגבראות שהן כולן מוכלות ב-$ {\mathcal {F}} $ ובלתי-תלויות.[4]
עבור $ n=0,1,2,... $, נגדיר $ {\mathcal {T}}_{n}=\sigma \left(\bigcup _{i=n}^{\infty }F_{i}\right) $, ונתבונן בסיגמא-אלגברת הזנב, $ {\mathcal {T}}=\bigcap _{n=1}^{\infty }{\mathcal {T}}_{n} $.[5] מאורעות $ {\mathcal {T}} $ מכונים "מאורעות זנב".
חוק האפס-אחד של קולמוגורוב קובע כי כל מאורעות הזנב הם בעלי הסתברות טריוויאלית "אפס-אחד". כלומר, לכל מאורע $ A\in {\mathcal {T}} $ מתקיים $ \mathbb {P} \left(A\right)=0 $ או $ \mathbb {P} \left(A\right)=1 $.
הנוסח הראשון אינטואיטיבי יותר, והוא מתקבל כמקרה פרטי של הנוסח השני, על ידי לקיחת $ F_{i}=\sigma \left(X_{i}\right) $, כלומר $ F_{i} $ היא הסיגמא-אלגברה המינימלית שביחס אליה $ X_{i} $ מדיד.
הוכחה
המשפט נובע באופן מיידי מחוק האפס-אחד של לוי. עם זאת נציג כאן הוכחה ישירה שלו.
למה: תהי $ {\mathcal {A}} $ אלגברה של קבוצות על $ X $. תהי $ {\mathcal {F}}=\sigma \left({\mathcal {A}}\right) $.
אזי לכל $ A\in {\mathcal {F}} $, לכל $ \epsilon >0 $ קיימת $ B\in {\mathcal {A}} $, כך שמתקיים $ \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon $.
הוכחה בקצרה: ניתן להראות שמשפחת כל הקבוצות המקיימות את התכונה שבלמה מהווה סיגמא-אלגברה, ומשפחה זו בבירור מכילה את $ {\mathcal {A}} $, ולכן היא מכילה את $ {\mathcal {F}} $.
נפנה כעת להוכחת חוק האפס-אחד.
עבור $ n=1,2,3,... $ נגדיר $ {\mathcal {G}}_{n}=\sigma \left(F_{1},...,F_{n-1}\right) $, ונגדיר $ {\mathcal {G}}=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{n} $. נשים לב כי $ {\mathcal {G}} $ היא איחוד של סדרה עולה של אלגבראות, ולכן היא אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי מתקיים $ {\mathcal {T}}_{1}=\sigma \left({\mathcal {G}}\right) $.
בהינתן מאורע $ A\in {\mathcal {T}} $, מהלמה נובע כי לכל $ \epsilon >0 $ יש מאורע $ B\in {\mathcal {G}} $ שעבורו מתקיים $ \mathbb {P} \left(A\triangle B\right)<\epsilon $, כלומר $ \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon $.
יהי $ N $ שעבורו $ B\in {\mathcal {G}}_{N} $. נשים לב כי $ A\in {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {T}}_{N+1} $, ולכן $ A,B $ בלתי-תלויות, ונקבל בסיכום כי $ \mathbb {P} \left(A\right)-\epsilon <\mathbb {P} \left(A\cap B\right)=\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \mathbb {P} \left(B\right)<\mathbb {P} \left(A\right)\cdot \left(\mathbb {P} \left(A\right)+\epsilon \right) $.
אבל $ \epsilon $ שרירותי, ולכן נובע כי $ \mathbb {P} \left(A\right)=\mathbb {P} \left(A\right)^{2} $, כלומר $ \mathbb {P} \left(A\right)=0 $ או $ \mathbb {P} \left(A\right)=1 $.
דוגמאות
נתבונן במרחב $ X=\left\{0,1\right\}^{\mathbb {N} } $, עם הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי הצילינדרים, כלומר על ידי קבוצות מהצורה $ C\left(a,n\right)=\left\{\mathbf {x} \in X\mid x_{n}=a\right\} $ (כאשר $ x_{n} $ הוא הקואורדינטה ה-$ n $ של $ \mathbf {x} $), עבור $ a\in \left\{0,1\right\} $ כלשהו.
נגדיר מידה על מרחב זה באמצעות $ \mathbb {P} \left(C\left(a,n\right)\right)={\frac {1}{2}} $ לכל $ a $ ולכל $ n $. ממשפט ההרחבה של קרתאודורי נובע כי הגדרת המידה על הקבוצות היוצרות מתרחבת להגדרתה על כל הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידיהן.
עבור $ i=1,2,3,... $ נגדיר $ F_{i}=\sigma \left(C\left(0,i\right)\right) $, ובהתאם נגדיר משתנים-מקריים $ X_{i}\left(\mathbf {x} \right)={\frac {x_{i}}{i}} $.
אזי ניתן להראות כי המאורעות הבאים הם מאורעות זנב:
- $ \left\{\mathbf {x} \in X\mid \sum _{i=1}^{\infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<\infty \right\} $
- $ \left\{\mathbf {x} \in X\mid \lim _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right){\mbox{exists}}\right\} $
- $ \left\{\mathbf {x} \in X\mid \limsup _{i\to \infty }X_{i}\left(\mathbf {x} \right)<c\right\} $ לאיזשהו $ c\in \mathbb {R} $
היארעות-תדירה והקשר ללמה השנייה של בורל-קנטלי
באופן כללי יותר, אם $ \left\{A_{i}\right\}_{i=1}^{\infty } $ אוסף של מאורעות כלשהם, אז המאורע $ \left\{{\text{infinitely many of the }}A_{i}{\text{ occur}}\right\}=\limsup _{i}\left(A_{i}\right)=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{i=n}^{\infty }A_{i} $ הוא מאורע זנב שלהם. לכן אם המאורעות בלתי-תלויים, אז ההסתברות למאורע זה היא 0 או 1.
הלמה השנייה של בורל-קנטלי קובעת כי במקרה שבו המאורעות בלתי-תלויים וגם הטור $ \sum _{i=1}^{\infty }\mathbb {P} \left(A_{i}\right) $ מתבדר לאינסוף, אז ההסתברות מתבררת להיות $ \mathbb {P} \left(\limsup _{i\to \infty }A_{i}\right)=0 $.
לקריאה נוספת
- אנדריי קולמוגורוב, Foundations of the Theory of Probability, 1933, הנספח (היחיד), "Zero-or-one law in the theory of probability"
הערות שוליים
- ↑ המשפט פורסם בספרו של קולמגורוב, המופיע בפרק "לקריאה נוספת".
- ↑ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $ i_{1},...,i_{k} $, לכל קבוצת מאורעות $ A_{i_{1}},...,A_{i_{k}} $, מתקיים כי $ \mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(X_{i_{1}}\in A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(X_{i_{k}}\in A_{i_{k}}\right) $.
- ↑ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $ i_{1},...,i_{k} $, עבור $ X_{i_{1}},...,X_{i_{k}} $, מתקיים כי $ \mathbb {P} \left(A\mid X_{i_{1}},...,X_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A\right) $.
- ↑ כלומר, לכל קבוצת אינדקסים סופית $ i_{1},...,i_{k} $, לכל קבוצת מאורעות $ A_{i_{1}}\in F_{i_{1}},...,A_{i_{k}}\in F_{i_{k}} $, מתקיים כי $ \mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap ...\cap A_{i_{k}}\right)=\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\right)\cdot ...\cdot \mathbb {P} \left(A_{i_{k}}\right) $.
- ↑ חיתוך של סיגמא-אלגבראות הוא סיגמא-אלגברה.
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] חוק האפס-אחד של קולמוגורוב19490334