היפוך מוכלל

באלגברה, היפוך מוכלל הוא שם משותף לכמה מושגי היפוך בחבורה למחצה ובמונויד, המכלילים את ההיפוך של איברים בחבורה. במונויד, שיש לו איבר יחידה, אפשר לדבר על איברים הפיכים מימין או משמאל, אבל אלו הכללות שהערך שלהן מוגבל. בניגוד לזה, היפוך מוכלל אפשר להגדיר בכל חבורה למחצה. את תפקידו של איבר היחידה תופסים במקרה כזה האידמפוטנטים. אם R הוא חוג, מושגי ההיפוך חלים גם על החבורה למחצה שמגדיר הכפל בחוג, והם עשויים לשאוב תכונות עודפות מקיומם של החיבור והחיסור.

רגולריות והפיכות במובן החלש

איבר a בחבורה למחצה (או בחוג בלי יחידה) הוא רגולרי אם קיים x כך ש-axa=a. האיבר x הזה נקרא הפכי פנימי (גם: הפכי רפלקסיבי) של a. אם axa=a אז גם ax וגם xa הם אידמפוטנטים. (איבר a בחוג הוא רגולרי אם ורק אם יש אידמפוטנט e כך ש- $Ra=Re$ ו- $1-e\in R(1-a)$ ).

איברים a,b הם הפוכים במובן החלש אם aba=a ו-bab=b. אם a רגולרי עם הפכי פנימי x, אז a ו-xax הפוכים במובן החלש. כלומר, איבר הוא רגולרי אם ורק אם הוא הפיך במובן החלש. לאיבר הפיך במובן החלש יכולים להיות הפכיים רבים.

חבורה למחצה שבה כל איבר הוא רגולרי נקראת חבורה למחצה רגולרית. אם לכל איבר יש הפכי *יחיד* במובן החלש, החבורה למחצה היא הפיכה (inverse semigroup).

חוג שבו כל איבר הוא רגולרי (ביחס לכפל) הוא חוג רגולרי. למחלקה חשובה זו יש הכללות רבות:

חוג רגולרי ליחידות (אנ') (כל איבר הוא רגולרי עם הפכי פנימי שהוא הפיך במובן הרגיל);
חוג רגולרי בחזקה (אנ') (כל a הוא רגולרי בחזקה, כלומר מתחלק מימין ומשמאל ב- $a^{2}$ ; זה שקול לכך שהחבורה-למחצה הכפלית של החוג היא הפיכה);
חוג $\pi$ -רגולרי (לכל איבר יש חזקה רגולרית); או
חוג $\pi$ -רגולרי בחזקה (הסדרות $Ra^{n}$ ו- $a^{n}R$ תמיד נעצרות).

הרגולריות של איברים בחוג R משליכה תכונות מועילות על מודולים מעל R. למשל, חוג הוא רגולרי אם ורק אם כל המודולים מעליו שטוחים. חוג הוא רגולרי ליחידות אם ורק אם בקטגוריה של מודולים פרויקטיביים נוצרים סופית יש צמצום (ביחס לסכום הישר). חוג הוא $\pi$ -רגולרי בחזקה אם כל שיכון של מודול ציקלי לתוך עצמו הוא איזומורפיזם.

היפוכים מוכללים בחבורה למחצה

היפוך חבורתי

בחבורה למחצה S, איברים a,b הם הפוכים חבורתית זה לזה אם הם הפוכים זה לזה במובן החלש, ומתחלפים. אם יש ל-a הפכי חבורתית, אז הוא *יחיד*, ומקובל לסמן אותו ב- $a^{\#}$ . לפי ההגדרה, $a^{\#\#}=a$ . אם S מונויד, איבר הפיך משמאל הוא הפיך חבורתית אם ורק אם הוא הפיך במובן הרגיל.

בכל חבורה למחצה, איבר a הוא הפיך חבורתית אם ורק אם הוא רגולרי בחזקה (ראו לעיל).

האיברים ההפיכים חבורתית ב-S הם בדיוק האיברים השייכים לחבורת האיברים ההפיכים, במובן הרגיל, במונויד eSe כאשר e הוא אידמפוטנט של S. איבר t הוא הפכי-חבורתית של עצמו אם ורק אם הוא "טריפוטנטי" (כלומר מקיים $t^{3}=t$ ); האיבר הזה הפיך בחבורה $t^{2}Gt^{2}$ . בפרט, כל אידמפוטנט הפכי-חבורתית לעצמו.

בחוג אבלי (כלומר חוג שבו האידמפוטנטים מרכזיים), אם a,b הפיכים חבורתית, אז גם המכפלה ab הפיכה חבורתית, עם הפכי $(ab)^{\#}=b^{\#}a^{\#}$ .

היפוך דראזין

תהי S חבורה למחצה. היפוך דראזין (Drazin, 1958) מכליל את ההפיכות החבורתית, באופן הבא. איבר a הוא הפיך דראזין, עם הפכי b, אם a,b מתחלפים, $bab=b$ , ו- $a^{n}=a^{n+1}b$ עבור $n\geq 1$ כלשהו. כאשר הפכי דראזין קיים, הוא יחיד, ומסמנים אותו ב- $a'$ . כל איבר המתחלף עם a מתחלף גם עם $a'$ . אם a,c מתחלפים והם הפיכים לפי דראזין, אז $(ac)'=c'a'=a'c'$ .

הערך המינימלי של n שעבורו $a^{n}=a^{n+1}b$ נקרא האינדקס של a; איבר הוא הפיך חבורתית אם ורק אם הוא הפיך דראזין עם אינדקס 1. לכל a הפיך דראזין, $a'$ הוא הפיך חבורתית ומתקיים $a''=a^{2}a'$ , ו- $a'''=a'$ . למעשה a הפיך חבורתית אם ורק אם $a''=a$ . איבר הוא הפיך דראזין אם ורק אם יש לו חזקה שהיא הפיכה דראזין, אם ורק אם יש לו חזקה שהיא הפיכה חבורתית.

בחוג R, איבר a הוא הפיך דראזין אם ורק אם הוא $\pi$ -רגולרי בחזקה (כלומר, הסדרות $Ra^{n}$ ו- $a^{n}R$ נעצרות).

בחוג R, איבר a הוא הפיך Hirano אם קיים b כך ש-bab=b, ab=ba, ו-a(a-b) הוא נילי. זה שקול לכך ש-a הפיך דראזין עם הפכי b שעבורו a-b נילי; וגם לכך ש- $a-a^{3}$ נילי.

היפוך Bott-Duffin

היפוך Bott-Duffin הוגדר ב-1953 באופן הבא. איבר a בחבורה למחצה S הוא הפיך ביחס לאידמפוטנט e, אם eae הפיך בחבורה eSe. כלומר, a הפיך ביחס ל-e אם ההיטל שלו eae הפיך, בעוד ש-a הפיך חבורתית אם ורק אם הוא *שייך* לחבורה fSf (עם f אידמפוטנט כלשהו) והפיך שם.

היפוך מור-פנרוז

היפוך מור-פנרוז מוגדר בחבורה למחצה עם אינוולוציה $(S,*)$ באופן הבא. הפכי-מור-פנרוז של a הוא הפכי חלש $a^{\dagger }$ , כך שהמכפלות $aa^{\dagger }$ ו- $a^{\dagger }a$ סימטריות (ביחס לאינוולוציה). גם הפכי מור-פנרוז יחיד כאשר הוא קיים. מתקיימות הזהויות $a^{\dagger \dagger }=a$ ו- $a^{*\dagger }=a^{\dagger *}$ . עם זאת, קבוצת האיברים שהם הפיכים מור-פנרוז אינה בהכרח סגורה לכפל.

איבר סימטרי הוא הפיך מור-פנרוז אם ורק אם הוא הפיך חבורתית, ועם אותו הפכי. הנוסחאות $a^{\dagger }=(a^{*}a)^{\dagger }a^{*}=a^{*}(aa^{*})^{\dagger }$ , המתקיימות באופן כללי, מספקות רדוקציה של חישוב ההפכי מור-פנרוז למקרה הסימטרי, בו ההפכי הוא, כאמור, ההפכי החבורתי.

האיברים שהם הפיכים מור-פנרוז עם $a^{\dagger }=a^{*}$ הם אלו המקיימים $a=aa^{*}a$ . האיברים שהם הפיכים מור-פנרוז לעצמם הם האיברים הטריפונטיים עם ריבוע סימטרי. בפרט, כל איבר טריפוטנטי סימטרי, וממילא גם כל אידמפוטנט סימטרי, הוא הפיך מור-פנרוז לעצמו.

קפלנסקי הוכיח שבחוג רגולרי עם אינוולוציה אנאיזוטרופית (כלומר מ- $a^{*}a=0$ נובע $a=0$ ), לכל איבר יש הפכי מור-פנרוז. בפרט, באלגברת המטריצות $\ \operatorname {M} _{n}(\mathbb {C} )$ , עם האינוולוציה הרגילה (שחלוף המטריצה הצמודה), לכל מטריצה יש הפכי מור-פנרוז. מכאן חשיבותו הגדולה של המושג הזה בתורת המטריצות. כהכללה, עבור אלגברת מטריצות $\operatorname {M} _{n}(F)$ מעל שדה, עם אינוולוציה כלשהי, ל-a יש הפכי מור-פנרוז אם ורק אם $\operatorname {rank} (aa^{*})=\operatorname {rank} (a^{*}a)=\operatorname {rank} (a)$ . היפוך מור-פנרוז ניתן להכללה למטריצות מלבניות, וכך הוגדר במקור.

היפוך (b,c) של דראזין

ב-2014 מצא דראזין הכללה של כל מושגי ההיפוך המופיעים לעיל. תהי S חבורה למחצה. עבור b,c ב-S, נאמר ש-a הוא (b,c)-הפיך אם קיים x כך ש- $x\in bSx\cap xSc$ , כך ש- $xab=b,\ cax=c$ . אם קיים x כזה, הוא יחיד! במקרה כזה b,c מוכרחים להיות רגולריים, ו-xax=x (כך ש-x גם הוא רגולרי). אם נכתוב x=bgx=xhc, אז bgb=b ו-chc=c; ובנוסף b=xh(cab) ו-c=(cab)gx. ל-a קיים הפכי-(b,c) אם ורק אם $b\in Scab,\ c\in cabS$ .

במונויד, איבר הוא (1,1)-הפיך אם הוא הפיך במובן הרגיל. בכל חבורה למחצה, ל-a יש הפכי- $(a,a)$ אם ורק אם הוא הפיך חבורתית. ל-a יש הפכי- $(a^{n},a^{n})$ , עבור n כלשהו, אם ורק אם הוא הפיך דראזין. בחבורה למחצה עם אינוולוציה *, ל-a יש הפכי מור-פנרוז אם ורק אם הוא $(a^{*},a^{*})$ -הפיך. (הפיכות- $(a,a^{*})$ ו - $(a^{*},a)$ נחקרה בספרות תחת השמות core inverse ו-dual core inverse). איבר a הוא הפיך לפי Bott-Duffin ביחס לאידמפוטנט e, אם ורק אם יש לו הפכי- $(e,e)$ .