החפת גלים

החפת גלים (באנגלית: Wave shoaling) במכניקת הזורמים היא מכלול התהליכים שעוברים על גלי מים כאשר הם נכנסים לאזור של מים רדודים בטרם הם נשברים. תהליכים אלו כוללים את הגידול בגובהם של הגלים וההחזרה שלהם כתוצאה משיפוע קרקעית החוף וכן את שינויי כיוון ההתקדמות של חזיתות הגלים. הם נגרמים ביסודם מן העובדה שמהירות החבורה של חבילות הגלים, שהיא גם מהירות העברת האנרגיה, קטנה עם עומק המים. במצב מתמיד, הפחתה במהירות העברת האנרגיה חייבת להיות מפוצה על ידי גידול בצפיפות האנרגיה כדי לשמר את שטף האנרגיה על ערך קבוע. גלים העוברים החפה יפגינו גם הפחתה באורך הגל שלהם, זאת בעוד תדירותם תישאר קבועה.

החפת גלים באה לידי ביטוי במיוחד במקרה של גלי צונאמי, ומשום שגלים אלו הם גלי מים רדודים לאורך כל אלפי הקילומטרים של מסלולם, בשונה מגלי ים רגילים שנוצרים בשכבה העליונה של האוקיינוס ומתוארים כגלי מים רדודים רק עם הגיעם בסמוך לחוף.

רקע

גלים המתקרבים אל קו החוף משנם את גובהם כתוצאה ממספר אפקטים. כמה מהתהליכים החשובים שהם עוברים כוללים את השבירה (במובן האופטי) שלהם, עקיפה, החזרה, שבירת גלים (waves breaking), אינטראקציית גל-זרם, חיכוך עם הקרקעית, גידול הגלים כתוצאה מהשפעת הרוח, והחפת גלים. בהיעדר האפקטים האחרים, החפת גלים היא התהליך של השינוי בגובהם של הגלים אודות לשינויים בעומק המים הממוצע - ללא שינויים בכיוון התקדמות הגלים ושחיקה אנרגטית. החפת גלים טהורה מתרחשת כאשר גלים ארוכים מתקדמים בניצב לקווי העומק של קרקעית בעלת שיפוע מתון. במקרה זה גובה הגל $H$ במיקום מסוים ניתן לביטוי כך:

H=K_{S}\;H_{0},

כאשר $K_{S}$ הוא מקדם ההחפה ו- $H_{0}$ הוא גובה הגל במים עמוקים. מקדם ההחפה $K_{S}$ תלוי רק בעומק המים המקומי $h$ . מים עמוקים פירושם שהגלים כמעט ואינם מושפעים מקרקעית הים, מה שקורה כאשר העומק $h$ גדול יותר ממחצית אורך הגל במים עמוקים $L_{0}=gT^{2}/(2\pi )$ .

פתרונות מתמטיים חשובים בתאוריה של החפת גלים

משוואת המים הרדודים החד-ממדית

אם אורך הגל של הגלים הוא גדול בהשוואה לעומק המים ומשרעתם קטנה מספיק, פרודות המים ינועו במסלולים אליפטיים מוארכים למדי ומהירותן האופקית תהיה גדולה בהרבה ממהירותם האנכית. לפי התיאור הליניארי של גלי מים, דעיכת התנועה המסלולית של פרודות המים עם העומק תלויה באורך הגל והיא מסדר גודל שלו, ולכן ניתן להניח, מכיוון שעומק המים קטן בהשוואה לאורך הגל, שהמהירות האופקית של הפרודות היא בקירוב קבועה בכיוון האנכי בשכבת המים דרכה הגל מתקדם. כיוון שהתנודות במהירות האנכית של פרודות המים אינן משמעותיות, מותר להניח גם שתאוצתם האנכית זניחה בהשוואה לתאוצת הכבידה, ולכן התפלגות הלחץ בשכבת המים היא בקירוב טוב הידרוסטטית; הלחץ בנקודה תלוי רק בעומק הנקודה מתחת לפני המים.

אם הזורם אי דחיס, השינוי בשטף המים משני צידיו של עמוד מים חייב להיות שקול להתרוממות אנכית מתאימה של פני המים מעל אותו עמוד. אם $u(x)$ היא המהירות האופקית (הקבועה) של פרודות המים, אז נקבל:

{\frac {\partial \eta (x,t)}{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial x}}(u(x)(H+\eta (x,t)))\approx H{\frac {\partial u(x)}{\partial x}}

שכן מניחים $\eta <<H$ . כיוון שהתפלגות הלחץ היא הידרוסטטית ניתן לרשום גם:

{\frac {\partial p}{\partial z}}=-\rho g

ולפיכך $p=\rho g(\eta -z)+p_{0}$ . ממשוואות אוילר ניתן לרשום:

{\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}

את האיבר השני באגף שמאל ( $u{\frac {\partial u}{\partial x}}$ ) ניתן להזניח בהנחה של אורכי גל ארוכים ומשרעת גלים קטנה. לפיכך מקבלים משילוב שתי המשוואות:

(*){\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial t^{2}}}={\frac {\partial (gH{\frac {\partial \eta }{\partial x}})}{\partial x}}

.

זוהי משוואת הגלים, ואם נגדיר $c_{0}={\sqrt {gH}}$ , נקבל את הפתרון הבסיסי עבור פונקציית הגל, המהירות האופקית והאנכית:

\eta =asink(x-c_{0}t)

u={\frac {a}{H}}c_{0}sink(x-c_{0}t)

v=-{\frac {ka}{H}}c_{0}(z+H)cosk(x-c_{0}t)

חוף עם קרקעית בעלת שיפוע קבוע

כעת נחקור את המקרה של גל מים שפוגע בחוף בעל קרקעית עם שינוי עומק ליניארי; חוף שבו העומק נתון בנוסחה $H=\alpha x$ , כאשר $\alpha =tan\beta$ הוא שיפוע הקרקעית.

ננחש פתרון מהצורה: $\eta ={\hat {\eta }}(x)cos(k(x)x-\omega t)$ , כאשר $k(x)=k_{0}{\sqrt {\frac {x_{0}}{x}}}$ הוא מספר הגל כפונקציה של הקואורדינטה האופקית x - כאן $k_{0}$ הוא מספר הגל המתאים לקואורדינטה התחלתית מסוימת $x_{0}$ (זהו תנאי התחלה).

ניעזר במשוואה שמסומנת ב-(*), אלא שהפעם נחליף את הקבוע H בפונקציה $\alpha x$ ונקבל את המשוואה הדיפרנציאלית:

${\frac {\partial (x{\frac {\partial {\hat {\eta }}}{\partial x}})}{\partial x}}+\kappa {\hat {\eta }}=0$

כאשר $\kappa ={\frac {\omega ^{2}}{\alpha g}}$ . בעזרת ההצבה $\xi =2{\sqrt {\kappa x}}$ ניתן להביא את המשוואה הדיפרנציאלית הזאת לצורה:

\xi {\frac {\partial ^{2}{\hat {\eta }}}{\partial \xi ^{2}}}+{\frac {\partial {\hat {\eta }}}{\partial \xi }}+\xi {\hat {\eta }}=0

.

זוהי הצורה הסטנדרטית של המשוואה הדיפרנציאלית שפתרונה הוא פונקציית בסל, ועל כן הפתרון הכללי למשוואה הוא:

\eta (x,t)=(aJ_{0}(\xi )+bY_{0}(\xi ))cos(k(x)x-\omega t)=(aJ_{0}(2{\sqrt {\frac {\omega ^{2}x}{\alpha g}}})+bY_{0}(2{\sqrt {\frac {\omega ^{2}x}{\alpha g}}}))cos(k(x)x-\omega t)

כאשר $J_{0},Y_{0}$ הן פונקציות בסל מסדר 0 מהסוג הראשון והשני בהתאמה.

ניתן ליישם את התוצאות הללו עבור חוף עם מקטע ליניארי בקרקעית, כאשר במקרה זה מניחים שפרופיל הגל נתון על ידי הפתרון לעיל (המבוטא בעזרת פונקציות בסל) מעל מקטע הקרקעית הליניארי ושהוא סינוסואידלי לפני ואחרי המקטע. המשוואות הדרושות כדי למצוא את a,b ומקדמי ההחזרה וההעברה מתקבלות מרציפות פונקציית הגל בשני המעברים אל תוך והחוצה מהמקטע, וכן מגזירות פונקציית הגל במעברים הללו. כך מקבלים מערכת של 4 משוואות ליניאריות ב-4 נעלמים שהם a,b ומקדמי ההחזרה וההעברה T,R.

חוק גרין

בעבור ערכים גדולים של הארגומנט $\xi$ - כאשר $\kappa ={\frac {\omega ^{2}}{\alpha g}}>>1$ (כלומר כאשר שיפוע הקרקעית מתון ולא תלול מדי) ובמרחק x לא קטן מדי מהחוף - פונקציות בסל מקיימות את הקירוב הבא:

J_{0}(\xi )\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi \xi }}}cos(\xi -{\frac {\pi }{4}})

Y_{0}(\xi )\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi \xi }}}sin(\xi -{\frac {\pi }{4}})

ולפיכך:

{\hat {\eta }}={\frac {a}{2{\sqrt {\pi }}\kappa ^{1/4}x^{1/4}}}cos(2{\sqrt {\kappa x}}-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {b}{2{\sqrt {\pi }}\kappa ^{1/4}x^{1/4}}}sin(2{\sqrt {\kappa x}}-{\frac {\pi }{4}})

כיוון שעבור $\xi$ גדול מספיק גורמי הסינוס והקוסינוס כמעט ואינם משתנים (ולכן ניתן להתייחס אליהם כקבועים), ניתן לראות שמשרעת הגל גדלה פחות או יותר בהתאם לקשר ${\hat {\eta }}\propto x^{-1/4}\propto H^{-1/4}$ , בהתאמה עם חוק גרין.

אי רציפות בעומק; מדרגה בקרקעית

במקרה של אי-רציפות בעומק, למשל כאשר ישנה מדרגה בקרקעית, ניתן לחשב את מקדמי ההעברה וההחזרה באמצעות הסקת משוואות דומה לזו שבתהליך של תיאום עכבות אקוסטיות. שתי המשוואות בנעלמים שהם R (מקדם החזרה) ו-T (מקדם העברה) מתקבלות מתנאי הרציפות של משרעת הגל במעבר, ומכך שזרם האנרגיה המקושרת לגל הפוגע חייב להיות שווה לסכום זרמי האנרגיה המקושרים לגל המוחזר והמועבר. שטף האנרגיה יחסי לצפיפות האנרגיה - שהיא יחסית למשרעת הגל בריבוע - ולמהירות החבורה ${\sqrt {gh}}$ . לפיכך נקבל: