גשר בראוני הוא תהליך וינר
![{\displaystyle W(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6bbc0342703bb50b33430da9dcd6c3445e05347)
על קטע
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
בהינתן
![{\displaystyle W(1)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac8ddb9dab06c014cb3300fa098754b40295026)
.
גשר בראוני הוא תהליך סטוכסטי רציף
על קטע
כך שלכל לכל
בקטע יש לו התפלגות של תהליך וינר סטנדרטי
המותנית בכך ש-
. כתוצאה מכך
ומתקיים גם ש-
כמעט בוודאות.
בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.
|
נסמן באופן שקול:
![{\displaystyle B(t):=(W(t)\mid W(1)=0),\;t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aba43cf62159eb05c4d3af5a8bb596725c37a91)
התוחלת של הגשר בכל
במרווח
היא אפס והשונות היא
. לכן, השונות הכי גדולה היא באמצע הקטע ושווה לאפס בקצוות. השונות המשותפת של
ו-
היא
. בניגוד לתהליך וינר, התהליך אינו קבוע בזמן ותוספות זרות בגשר בראוני אינן בלתי תלויות.[1]
גשר בראוני הוא תוצאה של משפט דונסקר בתחום התהליכים אמפיריים (אנ'). הוא משמש גם במבחן קולמוגורוב-סמירנוב (אנ') בתחום ההסקה הסטטיסטית.
ייצוגים נוספים של גשר בראוני
אם
הוא תהליך וינר סטנדרטי אז התהליך:
![{\displaystyle B(t)=W(t)-tW(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be89b1fed89ce10a105e309a82e7d854329d29a2)
הוא גשר בראוני ומתקיימת אי-תלות בין
ו-
.[2]
באופן שקול, אם
הוא גשר בראוני ו-
הוא משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי בלתי תלוי ב-
, אז התהליך
![{\displaystyle W(t)=B(t)+tZ}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e075236280813349395347ff563cf80c26f96817)
הוא תהליך וינר.
ניתן לייצג גשר בראוני כטור פורייה עם מקדמים סטוכסטיים:
![{\displaystyle B(t)=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74d24024f942ba9e81e59d69cfb0f45c090de982)
כאשר
הם משתנים מקריים נורמליים סטנדרטיים בלתי תלויים ושווי התפלגות (ראו משפט קוסמבי-קרהונן-לואב (אנ')).
קישורים חיצוניים
הערות שוליים
- ^ 18.3: The Brownian Bridge, Statistics LibreTexts, 2020-05-05 (באנגלית)
- ^ Aspects of Brownian motion, Springer, 2008, R. Mansuy, M. Yor page 2
38765971גשר בראוני