גשר בראוני הוא תהליך וינר
W
(
t
)
{\displaystyle W(t)}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
W
(
1
)
=
0
{\displaystyle W(1)=0}
גשר בראוני הוא תהליך סטוכסטי רציף
B
(
t
)
{\displaystyle B(t)}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
t
{\displaystyle t}
התפלגות של תהליך וינר סטנדרטי
W
(
t
)
{\displaystyle W(t)}
מותנית בכך ש-
W
(
1
)
=
0
{\displaystyle W(1)=0}
B
(
1
)
=
0
{\displaystyle B(1)=0}
B
(
0
)
=
0
{\displaystyle B(0)=0}
בערך זהסימון מתמטי .
נסמן באופן שקול:
B
(
t
)
:=
(
W
(
t
)
∣
W
(
1
)
=
0
)
,
t
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle B(t):=(W(t)\mid W(1)=0),\;t\in [0,1]}
התוחלת של הגשר בכל
t
{\displaystyle t}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
שונות היא
t
(
1
−
t
)
{\displaystyle t(1-t)}
שונות המשותפת של
B
(
s
)
{\displaystyle B(s)}
B
(
t
)
{\displaystyle B(t)}
min
(
s
,
t
)
−
s
t
{\displaystyle \min(s,t)-st}
בלתי תלויות .[1]
גשר בראוני הוא תוצאה של משפט דונסקר בתחום התהליכים אמפיריים (אנ' ) . הוא משמש גם במבחן קולמוגורוב-סמירנוב (אנ' ) בתחום ההסקה הסטטיסטית .
ייצוגים נוספים של גשר בראוני אם
W
(
t
)
{\displaystyle W(t)}
B
(
t
)
=
W
(
t
)
−
t
W
(
1
)
{\displaystyle B(t)=W(t)-tW(1)}
הוא גשר בראוני ומתקיימת אי-תלות בין
B
(
t
)
{\displaystyle B(t)}
W
(
t
)
{\displaystyle W(t)}
[2]
באופן שקול, אם
B
(
t
)
{\displaystyle B(t)}
Z
{\displaystyle Z}
משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי בלתי תלוי ב-
B
{\displaystyle B}
W
(
t
)
=
B
(
t
)
+
t
Z
{\displaystyle W(t)=B(t)+tZ}
הוא תהליך וינר.
ניתן לייצג גשר בראוני כטור פורייה עם מקדמים סטוכסטיים:
B
(
t
)
=
∑
k
=
1
∞
Z
k
2
sin
(
k
π
t
)
k
π
{\displaystyle B(t)=\sum _{k=1}^{\infty }Z_{k}{\frac {{\sqrt {2}}\sin(k\pi t)}{k\pi }}}
כאשר
Z
1
,
Z
2
,
…
{\displaystyle Z_{1},Z_{2},\ldots }
משפט קוסמבי-קרהונן-לואב (אנ' ) ).
קישורים חיצוניים הערות שוליים
^ 18.3: The Brownian Bridge , Statistics LibreTexts, 2020-05-05 (באנגלית) ^ Aspects of Brownian motion, Springer, 2008, R. Mansuy, M. Yor page 2
38765971 גשר בראוני
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle B(t):=(W(t)\mid W(1)=0),\;t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aba43cf62159eb05c4d3af5a8bb596725c37a91)
