משווה (מתמטיקה)
במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים. משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.
הגדרה
נניח כי X וY הן שתי קבוצות, וכי f ו-g הן שתי פונקציות מX לY. המשווה של f ו-g מוגדר להיות קבוצת כל האיברים x בהן f שווה לg. באופן מפורש:
- $ \mathrm {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}{\mbox{.}}\! $
בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מX לY. למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות. באופן יותר כללי, אם F היא קבוצה של פונקציות מX לY, אז המשווה של איברי F הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות בF שוות. באופן פורמלי:
- $ \mathrm {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall {f}{\in }{\mathcal {F}}\;\forall {g}{\in }{\mathcal {F}}\;f(x)=g(x)\}{\mbox{.}}\! $
כמקרה טריוויאלי, אם F מכילה פונקציה בודדת f, מאחר שלכל x בX מתקיים $ \,f(x)=f(x) $ הרי ש $ \,Eq({\mathcal {F}})=X $.
בתורת הקטגוריות
משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.
בהקשר כללי זה, אם X ו-Y הם שני אובייקטים ו-f ו-g הם שני מורפיזמים מX לY, המשווה של f ו-g הוא אובייקט E ומורפיזם $ \,eq:E\rightarrow X $ כך ש $ \,f\circ eq=g\circ eq $ וכך שבהינתן אובייקט O ומורפיזם $ \,m:O\rightarrow X $, אם $ \,f\circ m=g\circ m $ אז קיים מורפיזם יחיד $ \,u:O\rightarrow E $ כך ש $ \,eq\circ u=m $, כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:
