משווה (מתמטיקה)

במתמטיקה, משווה הוא קבוצה בה שתי פונקציות (או יותר) מקבלות ערכים שווים. משווה הוא קבוצת הפתרונות של משוואה.

הגדרה

נניח כי X וY הן שתי קבוצות, וכי f ו-g הן שתי פונקציות מX לY. המשווה של f ו-g מוגדר להיות קבוצת כל האיברים x בהן f שווה לg. באופן מפורש:

$\mathrm {Eq} (f,g):=\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}{\mbox{.}}\!$

בדרך זו ניתן להגדיר משווה לכל זוג פונקציות מX לY. למעשה, אין צורך להגביל את ההגדרה לזוג פונקציות, או אף למספר סופי של פונקציות. באופן יותר כללי, אם F היא קבוצה של פונקציות מX לY, אז המשווה של איברי F הוא קבוצת כל האיברים בהם כל הפונקציות בF שוות. באופן פורמלי:

$\mathrm {Eq} ({\mathcal {F}}):=\{x\in X\mid \forall {f}{\in }{\mathcal {F}}\;\forall {g}{\in }{\mathcal {F}}\;f(x)=g(x)\}{\mbox{.}}\!$

כמקרה טריוויאלי, אם F מכילה פונקציה בודדת f, מאחר שלכל x בX מתקיים $\,f(x)=f(x)$ הרי ש $\,Eq({\mathcal {F}})=X$.

בתורת הקטגוריות

משווים ניתנים להגדרה באמצעות תכונה אוניברסלית, המאפשרת להכלילם מהקטגוריה של קבוצות לקטגוריה כלשהי.

בהקשר כללי זה, אם X ו-Y הם שני אובייקטים ו-f ו-g הם שני מורפיזמים מX לY, המשווה של f ו-g הוא אובייקט E ומורפיזם $\,eq:E\rightarrow X$ כך ש $\,f\circ eq=g\circ eq$ וכך שבהינתן אובייקט O ומורפיזם $\,m:O\rightarrow X$, אם $\,f\circ m=g\circ m$ אז קיים מורפיזם יחיד $\,u:O\rightarrow E$ כך ש $\,eq\circ u=m$, כך שמתקבלת דיאגרמה קומוטטיבית:

קישורים חיצוניים

• משווה, באתר MathWorld (באנגלית)