גל קלווין

ערך זה עוסק בגלי כבידה באוקיינוס. אם התכוונתם לתבנית גלים מאחורי סירה, ראו גלי הסירה של קלווין.

במכניקת הזורמים, ובפרט בתחומים של מדעים פלנטריים ואוקיינוגרפיה פיזיקלית, גלי קלווין הם גלים לא נפיצים בעלי אורך גל ארוך (של עשרות קילומטרים) הנוצרים כתוצאה מאיזון של הכבידה עם כוח קוריוליס ותנאי שפה. ישנם שני סוגים של גלי קלווין - גלי קלווין חופיים הנוצרים על שפת החוף, וגלי קלווין משווניים המתקדמים ממערב למזרח לאורך קו המשווה.

לגלי קלווין חשיבות במטאורולוגיה ואקלים. גלים קלווין משווניים הם חלק חשוב ביצירת תופעת אל ניניו, וגלים חופיים משפיעים רבות על תופעת הגאות והשפל.

הסבר

בהזנחת כוח קוריוליס, וכאשר גלי המים מתקדמים בתווך חופשי, גלי מים יכולים להתקדם עבור כל כיוון התקדמות של הגל. כוח קוריוליס פועל במאונך לכיוון ההתקדמות של פרודות זורם במים, ולכן עבור גל המתקדם בכיוון $x$ יפעלו כוחות בכיוון $y$ . כך שמצב בו הגלים מתקדמים רק בכיוון מסוים אינו יכול להוות פתרון למשוואת הגלים. פתרונות בהם קיימים גלים המתקדמים בכיוון $x$ וגלים המתקדמים בכיוון $y$ הם אפשריים. הבעיה בפתרונות האלו עולה כאשר מגבילים את הגל באמצעות חוף ארוך בכיוון, באופן בו הזרימה לא יכולה להתקדם אל מעבר לקו החוף. במצב כזה גלים לא יכולים להתקדם בכיוון $x$ .

מפתרון של משוואות התנועה, מתברר שקיים פתרון בו הגלים מתקדמים רק בכיוון $y$ . פתרון כזה לא אפשרי במעמקי הים, שם אין כוח היכול לאפס את כוח קוריוליס. לעומת זאת, בקרבת החוף כוח קוריוליס יכול להתאזן עם הכוח שתנאי השפה מפעיל על המערכת, ומתקבל פתרון הדועך ככל שמתרחקים לעבר לב הים. פתרון כזה הוא גל קלווין חופי.

גל קלווין משווני מתקבל באופן דומה בקרבת קו המשווה, הסימטריה של המערכת מחייבת שלא תהיה זרימה בניצב לקו המשווה. ולכן מתקבלים גלים לאורך קו-המשווה הדועכים ככל שמתרחקים ממנו.

תיאור מתמטי

משוואות התנועה

כדי שלכוח קוריוליס יהיה השפעה על תנועת המערכת, מספר רוסבי ומספר אקמן של המערכת צריכים להיות קטנים. דבר זה מחייב שהאורך האופייני במערכת יהיה גדול, ובפרט מהירות ההתקדמות של הגלים חייבת להיות נמוכה ואורך הגל של הגלים צריך להיות מסדר גודל של מספר קילומטרים, ולכן הזרימה יכולה להיות מטופלת כזרימה במים רדודים. עבור זרימה כזו איברים ריבועיים במשוואות התנועה יכולים להיות מוזנחים, ומשוואות התנועה מקבלות את הצורה הבאה:

משוואת הרצף:

${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=-{\frac {1}{H}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}$

כאשר $H$ הוא העומק הממוצע, ו- $\eta$ הוא העומק הרגעי בנקודה.

משוואת התנע בכיוון $x$ :

${\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+fu_{y}$

כאשר $g$ הוא הגרוויטציה, ו- $f=2\Omega \sin \phi$ הוא פרמטר קוריוליס המקומי.

משוואת התנע בכיוון $y$ :

${\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-fu_{x}$

גלי קלווין חופיים

נדרוש כעת שקיים חוף המקביל לציר ה- $y$ , כך שאגן הזרימה הוא עבור $x>0$ . תנאי זה מחייב ש- $u=0$ עבור $x<0$ . ובנוסף לא יכול להתקיים זרימה המאונכת לציר הזרימה כלומר $\forall x,y:u_{x}=0$ . לכן משוואת הזרימה המתקבלות הן:

${\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=-{\frac {1}{H}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}$

${\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}$

$g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}=fu_{y}$

שתי המשוואות הראשונות מתארות גל לא נפיץ המתקדם בכיוון $\pm y$ במהירות $c={\sqrt {gH}}$ . הגלים האלו מקיימים $\eta =\pm {\sqrt {\frac {H}{g}}}\ u_{y}(x,y\mp ct)$ . הצבה של משוואה זו במשוואה השלישית נותנת:

$\pm {\sqrt {gH}}\cdot {\frac {\partial u_{y}(x,y\mp ct)}{dx}}=fu_{y}(x,y\mp ct)\implies u_{y}(x,y\mp ct)=\exp \left(\pm {\frac {fx}{\sqrt {gH}}}\right)\cdot u_{y}(0,y\mp ct)$

פתרונות בהם האקספוננט חיובי אינם פיזיקליים ולכן נקבל שבחצי הכדור הצפוני שבו $f>0$ הפתרון הוא:

$u_{y}(x,y,t)=\exp \left(-{\frac {fx}{\sqrt {gH}}}\right)\cdot u_{y}(0,y+ct)$

בעוד בחצי הכדור הדרומי שבו $f<0$ הפתרון הוא:

$u_{y}(x,y,t)=\exp \left({\frac {fx}{\sqrt {gH}}}\right)\cdot u_{y}(0,y-ct)$

המשמעות של פתרונות אלו הוא שהגל מקבל אמפליטודה מקסימלית בקרבת החוף. כאשר בחצי הכדור הצפוני הגל מתקדם באופן בו החוף נמצא בצד ימין ביחס לכיוון התקדמות הגל, ואילו בחצי הכדור הדרומי החוף נמצא בצד שמאל ביחס לכיוון התקדמות הגל.

גלי קלווין משווניים

בקרבת קו המשווה, פרמטר קוריוליס מתקרב לאפס. באזור זה אפשר להגדיר מערכת צירים מקומית כך ש- $y$ מכוון צפונה ו- $x$ מכוון מזרחה. קו המשווה יוגדר כקו בו $y=0$ . פרמטר רוסבי מוגדר כנגזרת החלקית של פרמטר קוריוליס לפי $y$ , כלומר מתקיים: $\beta ={\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {2\Omega }{a}}=2.28\cdot 10^{-11}{\frac {1}{m\ s}}$ . בקרבת קו המשווה מתקיים $f=\beta y$ . נציב זאת במשוואות הזרימה:

${\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}=-{\frac {1}{H}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}$

${\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+\beta yu_{y}$

${\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-\beta yu_{x}$

במצב זה, הסימטריה ביחס לקו המשווה מובילה לכך שאין זרימה מעבר לקו המשווה כלומר $u_{y}=0$ . באופן דומה לגלים חופיים נקבל גל לא נפיץ המתקדם בכיוון $\pm x$ במהירות $c={\sqrt {gH}}$ . הגלים האלו מקיימים $\eta =\pm {\sqrt {\frac {H}{g}}}\ u_{x}(x\mp ct,y)$ . הצבה של משוואה זו במשוואה השלישית נותנת:

$\pm {\sqrt {gH}}\cdot {\frac {\partial u_{y}(x\mp ct,y)}{dy}}=-\beta yu_{x}(y\mp ct,x)\implies u_{y}(x\mp ct,y)=\exp \left(\mp {\frac {\beta y^{2}}{2{\sqrt {gH}}}}\right)\cdot u_{y}(x\mp ct,0)$

הפתרון החיובי איננו פיזיקלי ולכן הפתרון הפיזיקלי היחיד הוא:

$u_{y}(x-ct,y)=\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2R_{eq}^{2}}}\right)\cdot u_{y}(x-ct,0)\qquad R_{eq}={\sqrt {\frac {c}{\beta }}}$

פתרון זה מתאר גל המתקדם מזרחה, בעל אמפליטודה מקסימלית בקו המשווה, הדועך באופן גאוסיאני ככל שמתרחקים מקו המשווה בעל רוחב של $R_{eq}={\sqrt {\frac {c}{\beta }}}$ .

בפועל גלים משווניים בדרך כלל לא מופיעים כשינוי בגובה פני המים, אלא כשינוי בעובי שכבת התרמוקלינה. במצב זה את קבוע הכבידה יש להחליף $g'=g\Delta \rho /\rho$ כאשר $\Delta \rho$ הוא השינוי בצפיפות בין המים בשכבת התרמוקלינה למים מתחתיה. $H\approx 200m$ הוא העובי הממוצע של התרמוקלינה, ו- $\Delta \rho /\rho =0.002$ . הצבה של גדלים אלה נותנת $c=2m/s$ ו- $R_{eq}\approx 300km$ .