גורם מבנה

בפיזיקה של חומר מעובה וקריסטלוגרפיה, גורם המבנה הוא תיאור מתמטי של תבנית הפיזור המתקבלת כתוצאה מניסוי פיזור, המתבצע בעזרת קרינת רנטגן, אלקטרונים או נייטרונים, על חומר מסוים. גורם המבנה הוא למעשה הגודל בריבוע של סכום אמפליטודות הגלים המפוזרים על ידי מרכיבי החומר (אטומים או אלקטרונים). גורם המבנה מעיד על קורלציות בין המיקום הממוצע של חלקיקי המערכת, וממנו ניתן ללמוד, בין השאר על מבנים ודינמיקה של חומרים פשוטים כמו מוצקים ונוזלים, וגם חומרים מורכבים כמו ממברנות וספינים.

פיתוח מתמטי

תהא $\Phi (r)$ פונקציה סקלרית המתארת את התפלגות החומר במרחב. עבור $N$ יחידות בסיס נוכל להגדיר:

$\Phi (r)=\sum \limits _{i=1}^{N}f({\textbf {r}}-{\textbf {R}}_{i})=f({\textbf {r}})*\sum \limits _{i=1}^{N}\delta ({\textbf {r}}-{\textbf {R}}_{i})$

אמפליטודת הפיזור, $I({\textbf {q}})$, תוגדר כריבוע של הערך המוחלט של טרנספורם פורייה של $\Phi ({\textbf {r}})$. כלומר:

$<I({\textbf {q}})>\thicksim <|\Phi ({\textbf {q}})|^{2}>=|f({\textbf {q}})|^{2}<\sum \limits _{j,k=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}_{i}-{\textbf {R}}_{j}))>$

נגדיר את גורם המבנה כ:

$S({\textbf {q}})=<\sum \limits _{j,k=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}_{i}-{\textbf {R}}_{j}))>$

כאשר $<...>$ הוא הממוצע בזמן ו-$|f({\textbf {q}})|^{2}$ הוא גורם הצורה.

משמעות פיזיקאלית

גורם המבנה הוא למעשה הגודל המוחלט בריבוע של סכום האמפליטודות המתקבל מ-$N$ גלים כתוצאה מפגיעה של גל מישורי ב-$N$ מפזרים נקודתיים. גורם המבנה פרופורציונלי לעצמת הקרינה המפוזרת.

גל מישורי המתפזר מ-2 מפזרים נקודתיים. ניתן לראות שהפרש הפאזה בין 2 הגלים המפוזרים הוא למעשה מכפלה סקאלרית של וקטור המרחק ביניהם לבין וקטור השינוי בתנע של הגל.

את גורם המבנה ניתן למצוא ניסיונית על ידי מדידת זווית הפיזור בניסויי פיזור של אלקטרונים וקרני רנטגן, כאשר ${\textbf {q}}={\textbf {k}}_{f}-{\textbf {k}}_{i}={\frac {4\pi sin({\frac {\theta }{2}})}{\lambda }}{\hat {q}}$ הוא וקטור השינוי בתנע של הפוטון, האלקטרון או הנייטרון.

ככל שקיימת קורלציה חזקה יותר במרחק המפריד בין מרכיבי המערכת, כלומר יש הסתברות גדולה למצוא ערך מסוים עבור ${\textbf {R}}_{ij}={\textbf {R}}_{j}-{\textbf {R}}_{i}$, נקבל התאבכות בונה ב-$S({\textbf {q}})$ עבור הערך ${\textbf {q}}={\frac {2\pi n}{R_{ij}}}{\hat {R_{ij}}}$, וכך ניתן להסיק על המבנה של אותו חומר. ב

ניסוי של פיזור נייטרונים ניתן להסיק על יחס הנפיצה של הסריג, וזאת על ידי קבלה של פונקציות דלתא נוספות המתווספות לסריג ההופכי המתקבל מניסוי הפיזור. ניסויים מסוג זה אינם אפשריים בפיזור אלקטרונים וקרינת רנטגן, וזאת מכיוון שנייטרונים מבצעים אינטראקציה כמעט ורק עם גרעין האטום (ובכך יכולים לעורר פונונים) לעומת האלקטרונים וקרינת הרנטגן שמבצעים אינטראקציה כמעט ורק עם האלקטרונים של האטום.

במקרה זה יתקבל הביטוי הבא עבור פונקציית המבנה הדינאמית:

$S({\textbf {q}},\omega )={\frac {1}{N}}\sum _{l,l'}e^{i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}^{l}-{\textbf {R}}^{l'})}\int {\frac {dt}{2\pi }}e^{i\omega t}e^{-2W}e^{<{\textbf {q}}\cdot {\textbf {u}}^{l'}(t){\textbf {q}}\cdot {\textbf {u}}^{l}(t)>}$

כאשר ${\textbf {u}}^{l}(t)$ היא הסטייה של אטום $l'$ משיווי משקל בזמן $t$ ו-$W\equiv {\frac {1}{2}}<({\textbf {q}}\cdot {\textbf {u}}^{l})^{2}>$ הוא הפאקטור של דבאי וולר. פיתוח של הביטוי מוביל למסקנה שהשיאים הנוספים של הפיזור המתקבלים כתוצאה מבליעה ופליטה של פונונים הם פרופורציונליים ל- $e^{-2W}$. את יחס הנפיצה ניתן להסיק מחוק שימור הקוואזי תנע של הסריג ומההנחה שהתנגשות נייטרונים באטומים היא אלסטית (חוק שימור האנרגיה). חוקי שימור אלה, עבור בליעה\פליטה של פונון בודד, מובילים לזוג המשוואות הבאות:

$\Delta {\textbf {P}}=\hbar {\textbf {q}}+\hbar {\textbf {G}}$ $\Delta E=\hbar \omega _{s}({\textbf {q}})$

כאשר $\Delta {\textbf {P}}$ הוא השינוי בתנע הנייטרון, $\Delta E$ היא השינוי באנרגיית הנייטרון, ${\textbf {G}}$ הוא וקטור בסריג ההופכי, ו-$\omega _{s}({\textbf {q}})$ היא התדירות המתאימה לפונון בעל אורך גל ${\textbf {q}}$.

גורם הצורה, שקשר אף הוא לתבנית הפיזור שמתקבלת, מעיד על קורלציות בתוך המפזרים הנקודתיים של גורם הצורה. לדוגמה: התפלגות האלקטרונים באטום בודד או מיקומי מונומרים של פולימר. עבור התפלגות האלקטרונים, גורם הצורה יהיה:

$|f({\textbf {q}})|^{2}=|\int \rho ({\textbf {r}})e^{i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}}dV|^{2}$

כאשר $\rho ({\textbf {r}})$ היא ההסתברות למצוא את האלקטרון במקום ${\textbf {r}}$.

גורם מבנה (מנורמל) עבור מערכת חד-ממדית הבנויה עשרה חלקיקים. מלמעלה למטה: בכחול, חלקיקים המפוזרים באופן אקראי, בדומה לגז אידאלי. באדום, חלקיקים אשר המרחק בין שני שכנים קרובים הוא קבוע, בדומה לגביש מושלם. בשחור, חלקיקים אשר המרחק בין שכנים קרובים משתנה מעט בצורה אקראית, בדומה לגביש לא-מושלם. ניתן להבחין שעבור וקטורי גל קצרים מתקבלת תוצאה הדומה לסריג מושלם. לעומת זאת, עבור וקטורי הגל הארוכים הקורלציה אובדת.

גביש מושלם

עבור גביש מושלם אינסופי (סריג בראבה) שבו המיקום של כל אטום מתואר על ידי הווקטור ${\textbf {R}}=n{\hat {a_{1}}}+m{\hat {a_{2}}}+l{\hat {a_{3}}}$, כאשר $n,l,m\in \mathbb {Z}$ יש קורלציה חזקה מאד בין מיקום האטומים בגביש, ותתקבל התאבכות בונה אך ורק עבור וקטורי ${\textbf {q}}$ אשר שייכים לסריג ההופכי, ונקבל שפונקציית המבנה מתארת למעשה את ההתפלגות המרחבית של הסריג ההופכי. במקרה החד-ממדי שבו מספר סופי של אטומים $N$, במקום פונקציות דלתא גורם המבנה שיתקבל יהיה:

$S(q)={\frac {1}{N}}|{\frac {sin{\frac {Nqa}{2}}}{sin{\frac {qa}{2}}}}|^{2}$

דוגמה: סריג קובי

עבור סריג בראבה קובי בעל וקטורי הבסיס ${\vec {a_{1}}}=a{\hat {x}},{\vec {a_{1}}}=a{\hat {y}},{\vec {a_{1}}}=a{\hat {z}}$, גורם המבנה יתאפס לכל $q\neq {\frac {2\pi n}{a}}$ בכיוון וגורם המבנה שיתקבל הוא:

$S({\textbf {q}})=\sum _{i}\sum _{j}\sum _{k}\delta ({\textbf {q}}-{\frac {2\pi }{a}}(n{\hat {x}}+j{\hat {y}}+k{\hat {k}}))$

כאשר $i,j,k\in \mathbb {Z}$. זוהי למעשה פונקציית ההתפלגות המתארת את הסריג ההופכי של הסריג הקובי הפשוט.

נוזל

פונקציית התפלגות רדיאלית האופיינית לנוזל במודל אינטראקציית Hardcore. השיא הראשון של הפונקציה הוא השיא המתאים למרחק של 2 כפול רדיוס הכדור.

גורם המבנה במודל Hardcore-Interaction, עבור הריכוזים 1-40%.

במקרה של נוזל לא מסודר נעשה שימוש בפונקציית ההתפלגות הרדיאלית, $g(r)$, אשר מתארת את הסיכוי למצוא חלקיק בספירה דקה בעלת רדיוס $r$ ועובי $dr$. את פונקציית המבנה ניתן לרשום כך:

$S({\textbf {q}})\approx 1+n\int _{V}dre^{-i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {r}}}[g({\textbf {r}})-1]$

המספר הממוצע של השכנים הקרובים יכול להיות מוערך על ידי ביצוע אינטגרציה את השיא הראשון של פונקציית ההתפלגות הרדיאלית:

$z_{average}=n\int _{0}^{1st\ peak}4\pi r^{2}g(r)dr$

מודל אינטראקציה קשיחה (Hardcore Interaction)

דרך פשוטה לתאר נוזל היא על ידי אינטראקציה קשיחה. במודל זה פוטנציאל האינטראקציה הוא:

$V(r)={\begin{cases}+\infty ,&0\leq r\leq \sigma \\0,&\sigma \leq r\end{cases}}$

כאשר $\sigma$ נלקחת לרוב כ-2 רדיוסי הכדור הקשיח, $\sigma =2R$ (כלומר: המרחק המינימאלי בין 2 מרכזי מסה של שני חלקיקים הוא קוטר חלקיק). בעזרת פוטנציאל זה ניתן לחשב פונקציית ההתפלגות הרדיאלית על ידי שיטת מונטה קרלו או על ידי הקירוב האנליטי של Percus-Yevick למשוואת Ornstein–Zernike.

גז אידאלי

בגז אידאלי, מכיוון שמדובר בחלקיקים נקודתיים ללא אינטראקציה, אין קורלציה בין מיקומי החלקיקים השונים, והמשתנים ${\textbf {R}}_{i}$ ו-${\textbf {R}}_{j}$ הם בלתי תלויים. בזכות זאת, נוכל להפריד את הסכום על האקספוננטים בצורה הבאה:

$S({\textbf {q}})=<\sum \limits _{i,j}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot ({\textbf {R}}_{i}-{\textbf {R}}_{j})>=<\sum \limits _{i=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {R}}_{i}))(\sum \limits _{j=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {R}}_{j})>=<\sum \limits _{i=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {R}}_{i}><\sum \limits _{j=1}^{N}exp(-i{\textbf {q}}\cdot {\textbf {R}}_{j})>=0$

כל עוד ${\textbf {q}}\neq 0$.

שימושים

גורם המבנה משמש ללמידה על הסטטיסטיקה של המבנה המיקרוסקופי של חומרים כגון מוצקים, נוזלים וגזים - אך גם של מבנים יותר מסובכים כגון ממברנות, פולימרים, ספינים ועוד. במקרה של פיזור נייטרונים ניתן ללמוד גם על הדינמיקה של המבנה, כגון יחס הנפיצה של פונונים בענפים שונים בסריג, שבאה לידי ביטוי בתוספת של שיאים חדשים שאינם נמצאים בסריג ההופכי. קבלת מידע על הדינמיקה של הסריג, כמו יחס נפיצה של פונונים עבור צירים שונים של הגביש, אפשרית על ידי בחינת השינוי באנרגיה של נייטרונים מפוזרים כתוצאה מפליטת\בליעת פונונים.

לקריאה נוספת

• Michael P. Marder, Condensed Matter Physics, John Wiley & Sons, inc., 2000
• 2000 ,Ashcroft\Mermin, Solid State Physics, Saunders College Publishing