בעיית המעגל של גאוס

בעיית המעגל של גאוס, היא הבעיה של ההערכה המדויקת של מספר נקודות הסריג (כלומר נקודות ששיעוריהן הם מספרים שלמים) הנמצאות בתוך מעגל שמרכזו בראשית הצירים ורדיוסו $r$ . הראשון שעסק בבעיה ועשה התקדמות לקראת פתרון היה קרל פרידריך גאוס, ומכאן שמה.

הבעיה

נסתכל על מעגל ב-$\mathbb {R} ^{2}$ עם מרכז בראשית ורדיוס $r\geq 0$ . בעיית המעגל של גאוס מבקשת לדעת כמה נקודות יש בתוך המעגל הזה עם הצורה $(m,n)$ כאשר $m,n$ שניהם מספרים שלמים. מכיוון שהמשוואה של המעגל הזה בקואורדינטות קרטזיות היא $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ , הבעיה שקולה לשאלה כמה זוגות מספרים שלמים $m,n$ ישנם עבורם $m^{2}+n^{2}\leq r^{2}$ .

אם התשובה עבור $r$ נתון תסומן ב-$N(r)$ אזי הרשימה הבאה מראה את הערכים הראשונים של $N(r)$ עבור $0\leq r\leq 10$ טבעי:
1,5,13,29,49,81,113,149,197,253,317 (סדרה A000328, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים)

חסמים על הפתרון והשערות

השטח בתוך מעגל ברדיוס $r$ הוא $\pi r^{2}$ , ומכיוון שריבוע בעל צלע 1 משמעותו נקודת סריג אחת, אזי התשובה המצופה אמורה להיות לכאורה בערך $\pi r^{2}$ . למעשה התוצאה ברוב המקרים גבוהה במקצת מזו, מכיוון שמעגלים יותר יעילים בתחימת שטח מאשר ריבועים. אפשר לבטא את התשובה בצורה $N(r)=\pi r^{2}+E(r)$ כאשר $E(r)$ פונקציית שגיאה לא ידועה כלשהי. מציאת חסמים נכונים ל-$E(r)$ תביא לפתרון הבעיה.

גאוס הוכיח כי $E(r)\leq 2{\sqrt {2}}\pi r$ .

ג.ה. הארדי, ובאופן בלתי תלוי לנדאו, מצאו חסם תחתון נמוך יותר והראו כי

$E(r)=o\left({\sqrt[{2}]{r{\sqrt {\log(r)}}}}\right)$

באמצעות סימן o הקטן, קיימת השערה שהחסם הנכון הוא:

$E(r)=O\left(r^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)$

אם נכתוב $|E(r)\leq C\cdot r^{t}$ , החסמים הנוכחיים על $t$ הם ${\frac {1}{2}}<t\leq {\frac {131}{208}}$ כאשר החסם התחתון נמצא על ידי הארדי ולנדאו בשנת 1915 ואילו החסם העליון הוכח על ידי מרטין הוקסלי בשנת 2000.

צורות מדויקות

הערך של $N(r)$ ניתן לביטוי באמצעות מספר טורים. במונחים של סכום שכולל בתוכו את פונקציית הערך השלם הוא ניתן לביטוי:

$N(r)=1+4\sum _{k=0}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+1}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {r^{2}}{4k+3}}\right\rfloor \right)$

סכום הרבה יותר פשוט מופיע אם פונקציית סכום הריבועים $r_{2}(n)$ מוגדרת כמספר הדרכים לרשום את $n$ כסכום של שני ריבועים:

$N(r)=\sum _{n=0}^{r^{2}}r_{2}(n)$

הכללות

למרות שהבעיה המקורית עוסקת במניית נקודות הסריג שבתוך מעגל, טבעי להכליל את הבעיה לשאר חתכי החרוט ועקומים נוספים. בעיית המחלקים של דיריכלה היא למעשה הבעיה השקולה לבעיה הזו אלא שהמעגל מוחלף בהיפרבולה ישרה. ניתן גם להכליל את הבעיה משני ממדים לממדים גבוהים יותר, ולשאול מהי כמות נקודות הסריג שבתוך כדור או אובייקטים אחרים.

בעיית המעגל הפרימיטיבית

הכללה אחרת היא לנסות ולמצוא את מספר הזוגות המספרים הזרים $m,n$ עבורם $m^{2}+n^{2}\leq r^{2}$ .

בעיה זו נקראת בעיית המעגל הפרימטיבית ומכיוון שהיא עוסקת במציאת הפתרונות הפרימיטיביים בלבד לבעיה המקורית. אם מספר הזוגות הנ"ל יסומן $V(r)$ אזי הערכים של $V(r)$ עבור הערכים הטבעיים הראשונים של $r$ הם:

0, 4, 8, 16, 32, 48, 72, 88, 120, 152, 192 … (סדרה A175341, באתר OEIS – האנציקלופדיה המקוונת לסדרות של מספרים שלמים)

באמצעות אותם הרעיונות כמו אלו שבבעיית המעגל של גאוס ובאמצעות העובדה שההסתברות ששני מספרים טבעיים יהיו זרים היא ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$ , ניתן להסיק כי

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O(r^{1+\varepsilon })$

כמו בבעיית המעגל הרגילה, החלק הבעייתי בבעיית המעגל הפרימטיבית הוא הורדת האקספוננט שבאיבר השגיאה. נכון לעתה האקספוננט הידוע הכי טוב הוא ${\frac {221}{304}}+\varepsilon$ אם מניחים כי השערת רימן נכונה. אם לא מניחים את השערת רימן, החסם העליון הידוע הטוב ביותר הוא

$V(r)={\frac {6}{\pi }}r^{2}+O\left(r\exp \left(-c{\sqrt[{5}]{\frac {\log(r)^{3}}{\log(\log(r))}}}\right)\right)$

עבור קבוע חיובי $c$ .

לקריאה נוספת

מסכת כלאיים פרק ה' משנה ה'.