בעיית הטנק הגרמני

באמידה, הבעיה של אמידת המקסימום של התפלגות אחידה בדידה ממדגם ללא החזרה ידועה באנגלית כבעיית הטנק הגרמני (German tank problem), בשל השימוש בה בהקשר של מלחמת העולם השנייה על מנת להעריך את מספר הטנקים הגרמניים. בעיה זו מדגימה את ההבדל בין הסקה שכיחותנית (Frequentist) לבין הסקה בייסיאנית.

הבעיה ההיסטורית

במהלך מלחמת העולם השנייה נעשו מאמצים ממושכים על ידי בעלות הברית כדי לקבוע את היקף הייצור הגרמני, וניסו לפתור זאת בשתי גישות: באמצעות איסוף מודיעין בצורה קונבנציונלית ובאמצעות אמידה סטטיסטית. במקרים רבים הניתוח הסטטיסטי עלה באיכותו על המודיעין הקונבנציונלי. במקרים מסוימים נעשה שימוש במודיעין קונבנציונלי בצירוף ניתוח סטטיסטי, כמו במקרה של הערכת ייצור טנקי הפנתר לפני הפלישה לנורמנדי.

הפיקוד של בעלות הברית סבר כי טנקי פנצר סימן 5 (פנתר) שנצפו באיטליה, שלהם מהירות גבוהה ותותחי 75 מ"מ/L70, הם טנקים כבדים נדירים במיוחד, ויהיו רק במספר קטן בצפון צרפת, באופן דומה לטנקי הטיגר I שנצפו בתוניסיה. צבא ארצות הברית היה משוכנע כי טנקי שרמן ימשיכו לתפקד היטב, כפי שתפקדו נגד טנקי פנצר סימן 3 ופנצר סימן 4 בצפון אפריקה ובסיציליה.

זמן קצר לפני הפלישה לנורמנדי הגיעו שמועות על כך שהגרמנים עושים שימוש במספר גדול של טנקים מסוג פנצר סימן 5. כדי לברר את נכונות השמועות, ניסו בעלות הברית להעריך את מספר הטנקים שיוצרו. הם ביססו את הערכותיהם על המספרים הסידוריים של טנקים שנתפסו או נהרסו. המספרים העיקריים ששימשו לניתוח זה היו מספרים סידוריים של תיבות ההילוכים, מאחר שאלו פוצחו על ידי בעלות הברית. מספרי השלדה והמנוע שימשו אף הם לניתוח, אך השימוש בהם היה מסובך יותר. מידע מרכיבים נוספים שימש לביסוס נוסף של הניתוח. ניתוח דומה נעשה גם על פי מספרים סידוריים של גלגלי מרכוב, שלהם ניתנו מספרים ברצף (1, 2, ...N).

ניתוח גלגלי הטנקים הניב ההערכה של מספר סוגי הגלגלים שהיו בשימוש. בדיקות שנעשו יחד עם מומחים בריטיים לייצור גלגלים העריכו את מספר הגלגלים שניתן היה לייצר מסוגים אלו, וכך את מספר הטנקים המיוצרים מדי חודש. ניתוח של גלגלים משני טנקים (בכל אחד מהם 32 גלגלים) הוביל להערכה של 270 טנקים שיוצרו בפברואר 1944.

ממסמכים גרמניים שנתפסו לאחר המלחמה התברר כי מספר הטנקים שיוצרו בפברואר 1944 היה 276 טנקים. הניתוח הסטטיסטי התברר כמוצלח יותר מהערכות המודיעין הקונבנציונליות, ו"בעיית הטנק הגרמני" הפך לשם שגור לתיאור בעיות מסוג זה.

השימוש במספרים סידוריים ובניתוחים סטטיסטים לא היה מוגבל רק להערכת מספר הטנקים, ושימש את בעלות הברית גם להערכת הייצור הגרמני באופן כללי, ובפרט מספר המפעלים וחשיבותם, אורך שרשרת האספקה (הזמן מהייצור ועד הכנסה לשימוש), שינויים בייצור ושימוש במשאבים כדוגמת גומי.

נתוני הייצור והערכות

על פי הערכות המודיעין הקונבנציונלי של בעלות הברית, ייצרו הגרמנים בסביבות 1,400 טנקים מדי חודש בין יוני 1940 לספטמבר 1942. אבל תוך שימוש בניתוח הסטטיסטי שיוצג להלן, הוערך מספר הטנקים שיוצרו ב-246 מדי חודש בלבד.^[1] לאחר המלחמה, מסמכים עם פרטי הייצור שנתפסו ממשרדו של אלברט שפר הראו כי המספר האמיתי היה 245.

הערכות עבור מספר חודשים מוצגות להלן:^[2]

חודש	הערכה סטטיסטית	הערכת המודיעין	מסמכים גרמניים
יוני 1940	169	1,000	122
יוני 1941	244	1,550	271
אוגוסט 1942	327	1,550	342

אנליזות דומות

ניתוחים סטטיסטיים דומים נעשו על פי מספרים סידוריים גם בהקשר לציוד צבאי אחר במלחמת העולם השנייה, ובפרט לטילי V-2. במהלך מלחמת העולם השנייה העריך הצבא הגרמני את היקף הייצור הצבאי הסובייטי, ובמהלך מלחמת קוריאה, נעשה ניתוח של מספרים סידוריים של ציוד סובייטי. גם ברית המועצות העריכה את ייצור הטנקים הגרמניים באופן דומה במהלך מלחמת העולם השנייה.

בשנות ה-80 מספר אמריקאים קיבלו גישה לקווי הייצור של טנקי מרכבה. היקף הייצור סודי, אך לטנקים היו מספרים סידוריים, שאפשרו להעריך את היקף הייצור שלהם.^[3]

אמצעי הגנה

על מנת להגן מפני ניתוח המבוסס על מספרים סידוריים ניתן להימנע מציונם, או להעניק מספרי ייצור מוצפנים או כאלו שאינם קשורים למספרים המיוצרים בפועל.

ניתוח שכיחותי

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

אינטואיציה

אינטואיטיבית האומד הוא המקסימום במדגם ועוד ההפרש הממוצע בין התצפיות במדגם. המקסימום במדגם נבחר כאומד ראשוני מאחר שהוא אומד נראות מקסימלית, והוספת ההפרש מפצה על ההטיה מטה של המקסימום במדגם לעומת המקסימום באוכלוסייה כולה.

אם m הוא המקסימום במדגם, ו-k הוא מספר הדגימות, הנוסחה תהיה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{N} = m + \frac{m - k}{k}}

ניתן להמחיש זאת בכך שהדוגמאות נמצאות בהפרש קבוע ביניהן בתוך הטווח, ודוגמאות נוספות נמצאות ממש מעבר לטווח של 0 ו N+1. אם מתחילם בהפרש ראשוני של בין 0 למינימום במדגם הפרש הממוצע בין הדוגמאות הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (m - k)/k} ; ההחסרה של $-k$ נעשית משום שהדוגמאות עצמן אינן נספרות בהפרש בין הדוגמאות.

הרעיון שבבסיס תיאור זה מנוסחות בצורה פורמלית באמצעות אמידת רווח מקסימלי (maximum spacing estimation)(אנ').

אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית

פיתוח של הנוסחה:

${\hat {N}}=m+{\frac {m-k}{k}}=m+mk^{-1}-1=m\left(1+k^{-1}\right)-1$

עבור אמידה נקודתית (אמידת נקודה יחידה מסה"כ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{N}} ), אומד חסר הטיה בעל שונות מינימלית (minimum-variance unbiased estimator; MVUE) ניתן באמצעות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \hat{N} = m\left(1 + k^{-1}\right) - 1} כאשר m הוא המספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה ו-k הוא מספר התצפיות. כאשר מרגע שנצפה מספר סידורי מסוים, הוא לא יצפה בשנית. לכך יש שונות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{var}(\hat{N}) = \frac{1}{k}\frac{(N-k)(N+1)}{(k+2)} \approx \frac{N^2}{k^2} \text{ for small samples } k \ll N}

כך שסטיית התקן היא בערך N/k, הגודל הממוצע (של האוכלוסייה) של ההפרש בין הדוגמאות; בהשוואה ל m/k לעיל.

גזירה

ההסתברות שהמקסימום במדגם הוא m ניתנת באמצעות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tbinom{m - 1}{k - 1}\big/\tbinom Nk} ; כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tbinom \cdot\cdot} הוא המקדם הבינומי. בהינתן גודל אוכלוסייה N וגודל מדגם k התוחלת של המקסימום במדגם היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \mu &= \sum_{m=k}^N m\frac{\tbinom{m - 1}{k - 1}}{\tbinom Nk} = \frac{k(N + 1)}{k + 1} \end{align}}

מערך לא ידוע זה ניתן לבטא את N מתוחלת וגודל המדגם: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N &= \mu\left(1 + k^{-1}\right) - 1 \end{align}}

מליניאריות התוחלת מקבלים: ${\begin{aligned}\mu \left(1+k^{-1}\right)-1&=E\left[m\left(1+k^{-1}\right)-1\right]\end{aligned}}$

ולכן האומד הבלתי מוטה של N ניתן באמצעות החלפת התוחלת במדגם ומכאן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \hat{N} &= m\left(1 + k^{-1}\right) - 1. \end{align}}

על מנת להראות שזה אומד שונות מינימלית:

מראים כי המקסימום במדגם הוא סטטיסטי מספיק עבור המקסימום באוכלוסייה
שנית מראים כי הוא סטטיסט מלא
באמצעות משפט להמן-שיף (Lehmann–Scheffé) מראים כי המקסימום במדגם עם תיקון להטיה כמוצג לעיל הוא אומד שונות מינימלית

ניתוח בייסיאני

הגישה הבייסיאנית לבעיית הטנק הגרמני היא לבחון את ההסתברות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (N=n\mid M=m, K=k)} כך שמספר הטנקים של האויב N שווה ל־n, מספר הטנקים שנצפו K שווה ל־k והמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה M הוא m. לשם הקיצור נשתמש ב־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (n\mid m,k)} לציון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (N=n\mid M=m,K=k)} .

מכללים של הסתברות מותנת מקבלים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n\mid m,k) = (m\mid n,k)\frac {(n\mid k)}{(m\mid k)}}

הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (m\mid n,k)=(M=m\mid N=n,K=k)} היא ההסתברות המותנית שהמספר הסידורי הגבוה ביותר שנצפה הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle m} כאשר ידוע שמספר הטנקים של האויב הוא $\scriptstyle n$ ו־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle k} טנקים נצפו: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (m\mid n,k) = \begin{cases} \frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom{n}{k}} &\text{if } k \le m \le n\\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} } כאשר המקדם הבינומי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \binom n k} הוא מספר הקבוצות של דוגמאות בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle k} מאוכלוסייה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle n} .

הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (m\mid k)=(M=m\mid K=k)} הוא ההסתברות שהמספר הסידורי המרבי הוא m כאשר k טנקים נצפו, אך לפני שנצפו המספרים הסידוריים. את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (m\mid k)} ניתן לכתוב מחדש במונחים של יתר הנתונים באמצעות סכימה באמצעות האפשרויות השונות של $\scriptstyle n$ : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (m\mid k)=(m\mid k)\cdot 1 =(m\mid k){\sum_{n=0}^\infty(n\mid m,k)} =(m\mid k){\sum_{n=0}^\infty(m\mid n,k)\frac {(n\mid k)}{(m\mid k)}} =\sum_{n=0}^\infty(m\mid n,k)(n\mid k)}

הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle (n\mid k)=(N=n\mid K=k)} מתאר את ההסתברות לכך שמספר הטנקים הכולל הוא n כאשר k טנקים נצפו אך לפני צפייה במספרים הסידוריים. בהנחה שההתפלגות היא התפלגות אחידה (בדידה): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n\mid k) = \begin{cases} \frac 1{\Omega - k} &\text{if } k \le n < \Omega \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} }

החסם העליון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega} חייב להיות סופי כיוון שהפונקציה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(n)=\lim_{\Omega\rarr\infty} \begin{cases} \frac 1{\Omega - k} &\text{if } k \le n < \Omega \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} } תקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle f(n)=0} ואינה פונקציית הסתברות. לכן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n\mid m,k) = \begin{cases} \frac{(m\mid n,k)}{\sum_{n=m}^{\Omega - 1} (m\mid n,k)} &\text{if } m \le n < \Omega \\ 0 &\text{otherwise} \end{cases} }

אם $\scriptstyle \sum _{n=m}^{\infty }(m\mid n,k)<\infty$ אז המשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \Omega} מוסר מהנוסחה.

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (n\mid m,k) = \begin{cases} 0 &\text{if } n < m \\ \frac{(m\mid n,k)}{\sum_{n=m}^\infty(m\mid n,k)} &\text{if } n\ge m \end{cases} }

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\geq 1} השכיח של ההתפלגות של מספר הטנקים של האויב הוא m.

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\geq 2} ההסתברות שמספר הטנקים שווה ל־n היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N=n\mid M=m\ge k,K=k\ge 2) = \begin{cases} 0 &\text{if } n < m \\ \frac {k - 1}{k }\frac {\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom n k} &\text{if } n \ge m \end{cases} }

וההסתברות שמספר הטנקים של האויב, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle N} , הוא גדול מ־הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle n} , היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (N > n\mid M = m \ge k , K = k \ge 2) = \begin{cases} 1 &\text{if } n < m \\ \frac {\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom n {k - 1}} &\text{if } n \ge m \end{cases} }

עבור $k\geq 3$ , מספר הטנקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} הוא בעל ערך תוחלת סופי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{(m - 1)(k - 1)}{k - 2}}

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k\geq 4} , מספר הטנקים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle N} הוא בעל סטיית תקן סופית של: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{\frac{(m - 1)(k - 1)(m + 1 - k)}{(k - 2)^2(k - 3)}}}

נוסחאות אלו מפותחות להלן.

נוסחת סכום

הזהות הבאה של המקדם הבינומי תשמש להלן לפישוט סדרות הקשורות לבעיית הטנק הגרמני:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=m}^\infty \frac 1 {\binom n k} = \frac k{k - 1}\frac 1 {\binom{m - 1}{k - 1}}}

סכום זה אנלוגי במידת מה לאינטגרל הבאה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{n=m}^\infty \frac {dn}{n^k} = \frac 1{k - 1}\frac 1{m^{k - 1}}}

נוסחאות אלו תקפות עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k > 1} .

טנק יחיד

תצפית בטנק יחיד באקראי מתוך אוכלוסייה של n טנקים, ולו מספר סידורי m בהסתברות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{1}{n}} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m \leq n} ובהסתברות של אפס עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m > n} . . באמצעות שימוש בסוגריי אייברסון ניתן לכתוב זאת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (M=m\mid N=n,K=1) = (m\mid n) = \frac{[m \le n]}{n}}

זו פונקציית הסתברות מותנית שלהפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle m} .

כאשר מתייחסים לכך כפונקציה n עבור מספר קבוע m זו פונקציית נראות:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}(n) = \frac{[n\ge m]}{n}}

האומד נראות מקסימלית למספר הטנקים הכולל הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N_0 = m} .

הנראות הכוללת היא אין סוף כזנב של הסדרה ההרמונית:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_n \mathcal{L}(n) = \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{n} = \infty}

אבל, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H_n} הוא מספר הרמוני:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_n \mathcal{L}(n)[n < \Omega] &= \sum_{n=m}^{\Omega - 1} \frac{1}{n} \\ &= H_{\Omega-1} - H_{m - 1} \end{align}}

פונקציית ההסתברות אשר תלויה בהגבלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \Omega} הניתנת כידע מוקדם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &(N=n\mid M=m,K=1) \\ = {} &(n\mid m) = \frac{[m\le n]}{n} \frac{[n<\Omega]}{H_{\Omega - 1} - H_{m - 1}} \end{align}}

התוחלת של $\scriptstyle N$ היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_n n\cdot(n\mid m) &= \sum_{n=m}^{\Omega - 1} \frac{1}{H_{\Omega - 1} - H_{m - 1}} \\ &= \frac{\Omega - m}{H_{\Omega - 1} - H_{m - 1}} \\ &\approx \frac{\Omega - m}{\log\left(\frac{\Omega - 1}{m - 1}\right)} \end{align}}

שני טנקים

אם נצפים שני טנקים, אז ההסתברות שזה עם המספר הסידורי הגדול יותר שווה ל־m, היא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (M=m\mid N=n,K=2) = (m\mid n) = [m \le n]\frac{m - 1}{\binom{n}{2}}}

כאשר מתייחסים לכך כפונקציה של n עבור m קבוע זו פונקציית נראות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}(n) = [n \ge m]\frac{m - 1}{\binom{n}{2}}}

הנראות הכוללת היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_{n}\mathcal{L}(n) &= \frac{m - 1}{1} \sum_{n=m}^\infty \frac{1}{\binom n 2} \\ &= \frac{m - 1}{1} \cdot \frac{2}{2 - 1} \cdot \frac{1}{\binom {m - 1}{2 - 1}} \\ &= 2 \end{align}}

ופונקציית ההסתברות של מספר הטנקים הכולל N כתלות בתצפית במספר הסידורי הגדול m ובצפייה בשני טנקים היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &(N=n\mid M=m,K=2) \\ = {} &(n\mid m) \\ = {} &\frac{\mathcal{L}(n)}{\sum_n \mathcal{L}(n)} \\ = {} &[n \ge m]\frac{m - 1}{n(n - 1)} \end{align}}

החציון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle \tilde{N}} מקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_n [n \ge \tilde{N}](n\mid m) = \frac{1}{2}}

ולכן: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m - 1}{\tilde N - 1} = \frac{1}{2}} . מכאן שערך החציון הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{N} = 2m - 1}

אך התוחלת של N היא אינסופית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu = \sum_n n \cdot (n\mid m) = \frac{m - 1}1\sum_{n=m}^\infty \frac{1}{n - 1} = \infty}

טנקים רבים

ההסתברות המותנית שהערך הגדול מבין k תצפיות של מספרים סידוריים {1,...,n}, שווה ל־m, היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &(M=m\mid N=n,K=k\ge 2) \\ = {} &(m\mid n,k) \\ = {} &[m\le n]\frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom{n}{k}} \end{align}}

פונקציית הנראות של n היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{L}(n) = [n \ge m]\frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom{n}{k}}}

הנראות הכוללת היא סופית עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k \geq 2} :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} \sum_n \mathcal{L}(n) &= \frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{1} \sum_{n=m}^\infty {1 \over \binom n k} \\ &= \frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{1} \cdot \frac{k}{k-1} \cdot \frac{1}{\binom{m - 1}{k - 1}} \\ &= \frac k{k - 1} \end{align}}

פונקציית ההסתברות של מספר הטנקים הכולל N כתלות בתצפית עם הערך הגדול ביותר m מ-k תצפיות היא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &(N=n\mid M=m,K=k \ge 2) = (n\mid m,k) \\ = {} &\frac{\mathcal{L}(n)}{\sum_n \mathcal{L}(n)} \\ = {} &[n\ge m]\frac{k-1}{k} \frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom n k} \\ = {} &[n\ge m]\frac{m-1}{n} \frac{\binom{m - 2}{k - 2}}{\binom{n - 1}{k - 1}} \\ = {} &[n\ge m]\frac{m-1}{n} \frac{m - 2}{n - 1} \frac{k - 1}{k - 2} \frac{\binom{m - 3}{k - 3}}{\binom{n-2}{k-2}} \end{align}}

התפלגות הזנב (המשלים לפונקציית הצטברות) עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N > x} :

{\begin{aligned}&(N>x\mid M=m,K=k)\\={}&{\begin{cases}1&{\text{if }}x<m\\\sum _{n=x+1}^{\infty }(n\mid m,k)&{\text{if }}x\geq m\end{cases}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {N}{k}}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\sum _{n=x+1}^{\infty }{\frac {1}{\binom {n}{k}}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {k-1}{k}}{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{1}}\cdot {\frac {k}{k-1}}{\frac {1}{\binom {x}{k-1}}}\\={}&[x<m]+[x\geq m]{\frac {\binom {m-1}{k-1}}{\binom {x}{k-1}}}\end{aligned}}

פונקציית ההצטברות עבור $N\leq x$ :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} &(N\le x\mid M=m,K=k) \\ = {} &1 - (N>x\mid M=m,K=k) \\ = {} &[x \ge m]\left(1 - \frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom{x}{k - 1}}\right) \end{align}}

דוגמה

נניח כי קצין מודיעין צפה בארבעה טנקים בעלי מספרים סידוריים 2, 6, 7 ו-14. נסמן את מספר הטנקים בהם צפה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k=4} ואת המספר הסידורי המרבי שנצפה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m=14} . מספר הטנקים של האויב, שאותו נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} , אינו ידוע ואותו רוצים להעריך על פי תצפיות אלו.

הערכה למספר הטנקים של האויב על פי הגישה השכיחותית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N \approx m + \frac{m}{k} - 1 = 16.5}

לעומת זאת הערכה בייסיאנית של מספר הטנקים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Pr(N=n) = \begin{cases} 0 &\text{if } n < m \\ \frac {k - 1}{k}\frac{\binom{m - 1}{k - 1}}{\binom n k} &\text{if } n \ge m \end{cases}}

ועל פי ההערכה זו נוכל לאמוד את מספר הטנקים כך:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} N &\approx \mu \pm \sigma = 19.5 \pm 10 \\ \mu &= (m - 1)\frac{k - 1}{k - 2} \\ \sigma &= \sqrt{\frac{(k-1)(m-1)(m-k+1)}{(k-3)(k-2)^2}} \end{align}}

להתפלגות זו צידוד חיובי, הקשור לכך שמספר הטנקים אינו קטן מ-14.

לקריאה נוספת

Johnson, R. W. (Summer 1994). "Estimating the Size of a Population". Teaching Statistics. 16 (2): 50–52. doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x.

הערות שוליים

^ "Gavyn Davies does the maths". The Guardian (באנגלית). 2006-07-19. ISSN 0261-3077. נבדק ב-2016-04-22.
^ German tanks in WW2, Statistical Consulting Centre
^ Johnson 1994.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

33557093בעיית הטנק הגרמני

[1] "Gavyn Davies does the maths". The Guardian (באנגלית). 2006-07-19. ISSN 0261-3077. נבדק ב-2016-04-22.

[2] German tanks in WW2, Statistical Consulting Centre

[FOOTNOTEJohnson1994-3] Johnson 1994.

[1]

[2]

[3]

בעיית הטנק הגרמני

תוכן עניינים