אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ
בתורת ההסתברות, אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ הוא אי-שוויון החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים אריה דבורצקי, ג'ק קיפר (אנ') וג'ייקוב וולפוביץ (אנ') שגילו אותו ב-1956[1]. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart [2] את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.
אי-השוויון
עבור מספר טבעי $ n $, יהיו $ X_{1},\dots ,X_{n} $ משתנים מקריים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות $ F $. נסמן ב- $ F_{n} $ את פונקציית המדרגות המתקבלת מן הדגימה: $ F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{[X_{i},\infty )}(x),\quad x\in {\mathbb {R} }. $. אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית $ F_{n} $ תהיה רחוקה מ-$ F $ ביותר מקבוע $ \varepsilon >0 $ במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק,$ \ \mathbb {P} {\Bigl (}\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|>\varepsilon {\Bigr )}\leq 2e^{-2n\varepsilon ^{2}} $ לכל $ \varepsilon >0 $. תוצאה זו מחזקת את משפט גליבנקו-קנטלי, בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב.
לדוגמה, אם דוגמים $ n=150 $ ערכים מהתפלגות לא ידועה $ F $, ומגדירים $ F_{n} $ כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה $ |F(x)-F_{n}(x)|>0.1 $ קטן מ-$ 2e^{-2n\cdot 0.1^{2}}=2e^{-3}\approx 0.1 $. השגיאה יורדת בקצב אקספוננציאלי בגודל המדגם.
הערות שוליים
- ↑ Dvoretzky, A.; Kiefer, J.; Wolfowitz, J. (1956). "Asymptotic minimax character of the sample distribution function and of the classical multinomial estimator". Annals of Mathematical Statistics. 27 (3): 642–669. doi:10.1214/aoms/1177728174. MR 0083864..
- ↑ Massart, P. (1990). "The tight constant in the Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality". Annals of Probability. 18 (3): 1269–1283. doi:10.1214/aop/1176990746. MR 1062069.
אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ28564297Q5317822