אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ

בתורת ההסתברות, אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ הוא אי-שוויון החוסם את המרחק בין התפלגות דגימה לבין ההתפלגות התאורטית שממנה נלקחת הדגימה. אי-השוויון קרוי על-שם המתמטיקאים אריה דבורצקי, ג'ק קיפר (אנ') וג'ייקוב וולפוביץ (אנ') שגילו אותו ב-1956^[1]. בגרסה המקורית הופיע באגף ימין של אי-השוויון גורם קבוע C, שערכו לא הוגדר. ב-1990 מצא Pascal Massart ^[2] את ערכו המדויק של הקבוע, והראה שלא ניתן לשפר את התוצאה מעבר אליו.

אי-השוויון

עבור מספר טבעי $n$ , יהיו $X_{1},\dots ,X_{n}$ משתנים מקריים ממשיים, בלתי תלויים ושווי התפלגות, עם פונקציית התפלגות $F$ . נסמן ב- $F_{n}$ את פונקציית המדרגות המתקבלת מן הדגימה: $F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}1_{[X_{i},\infty )}(x),\quad x\in {\mathbb {R} }.$ . אי-שוויון דבורצקי-קיפר-וולפוביץ חוסם את הסיכוי שהפונקציה המקרית $F_{n}$ תהיה רחוקה מ- $F$ ביותר מקבוע $\varepsilon >0$ במקום כלשהו על הישר הממשי. ליתר דיוק, $\ \mathbb {P} {\Bigl (}\sup _{x\in \mathbb {R} }|F_{n}(x)-F(x)|>\varepsilon {\Bigr )}\leq 2e^{-2n\varepsilon ^{2}}$ לכל $\varepsilon >0$ . תוצאה זו מחזקת את משפט גליבנקו-קנטלי, בכך שהיא קובעת את קצב ההתכנסות של המרחק כאשר n גדל לאינסוף. אי-השוויון מספק גם אומדן להסתברות הזנב של הסטטיסטי של קולמוגורוב-סמירנוב.

לדוגמה, אם דוגמים $n=150$ ערכים מהתפלגות לא ידועה $F$ , ומגדירים $F_{n}$ כמקודם, אז הסיכוי לכך שתהיה נקודה ממשית שבה $|F(x)-F_{n}(x)|>0.1$ קטן מ- $2e^{-2n\cdot 0.1^{2}}=2e^{-3}\approx 0.1$ . השגיאה יורדת בקצב אקספוננציאלי בגודל המדגם.