אוטומט סופי דטרמיניסטי

בתורת החישוביות, אוטומט סופי דטרמיניסטי (להלן: אס"ד) הוא מודל מתמטי, המגדיר שפה פורמלית. המודל מורכב מאוסף סופי של מצבים וכְלָלֵי מַעֲבַר ביניהם. בהינתן קלט, הבנוי מסדרה של סמלים (סימנים) מתוך א"ב (אוסף כל הסימנים האפשריים) ידוע, מתבצע מעבר סדרתי על הסמלים, ובהתאם, מתבצעים מעברים בין מצבי האוטומט – אחד עבור כל סמל. המצב ההתחלתי ידוע מראש וכל מעבר מוגדר באופן חד-ערכי ויחיד ("דטרמיניסטי") על פי הסמל הבא שנקרא. כאשר נקראים כל הסמלים שבקלט, מתבצעת בדיקה של סוג המצב בו נמצא האוטומט (המצב האחרון שאליו הגיע). אם מדובר ב"מצב מקבל", הקלט נחשב כ"מילה בשפה" של האוטומט, אחרת, הוא נחשב כמילה שאיננה שייכת לשפת האוטומט.

קבוצת כל השפות הפורמליות, המוגדרות על ידי אס"ד-ים, מכונה קבוצת השפות הרגולריות.

הגדרה פורמלית

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

אס"ד $\ A$ מוגדר להיות החמישייה הסדורה הבאה:

$A=(\Sigma ,Q,q_{0},F,\delta )$

כאשר:

• $\Sigma$ היא (קבוצת) אלפבית הקלט. כל איבר בקבוצה זו מכונה "אות".
• $Q$ היא קבוצה סופית של מצבים. כל מצב בקבוצה זו הוא, בהכרח, בדיוק אחד מהשניים: "מצב מקבל" או "מצב לא מקבל".
• $q_{0}$ הוא המצב ההתחלתי של האס"ד (ממנו מתחיל החישוב), $q_{0}\in Q$.
• $F$ היא קבוצת מצבים מקבלים, $F\subseteq Q$. מצב מקבל הוא מצב שמסמן שהאוטומט מחזיר תשובה חיובית. כלומר: אם בסוף הקלט האוטומט נמצא במצב מקבל, זה אומר שהקלט הוא מילה בשפה של האס"ד.
• $\delta$ היא פונקציית המעברים, $\delta \colon \Sigma \times Q\rightarrow Q$ (לכל מצב ואות קלט מותאם מצב אחד ויחיד, ולכן, אוטומט זה נקרא דטרמיניסטי).

אופן פעולת האוטומט

האס"ד קורא את מילת הקלט (סדרת האותיות) תוך כדי מעבר בין מצביו השונים (בהתאם לפונקציית המעברים), ובסיום קריאת המילה, קובע האם היא שייכת לשפה, לפי סוג המצב אליו הגיע:

1. האס"ד מתחיל את פעולתו במצב $q_{0}$ ומקבל מילת קלט (סופית או ריקה ("מילה ריקה" היא מילה עם 0 אותיות)).

2. האס"ד בודק האם קיימות אותיות במילה:

• 2א. אם נותרו אותיות נוספות, האס"ד קורא את האות הבאה בסדרה (אות אחת בלבד), עובר למצב חדש, לפי פונקציית המעברים, ובודק שוב אם קיימות אותיות נוספות במילה, שלא נקראו (חוזר לשלב 2).
• 2ב. אם לא נותרו אותיות נוספות לקריאה, האס"ד יסיים את פעולתו:
  • 2ב-1. אם האוטומט נעצר (הגיע) במצב מקבל, המילה תתקבל.
  • 2ב-2. אחרת, המילה לא תתקבל.

דוגמאות לאוטומטים סופיים

אוטומט המקבל מילים המכילות מספר זוגי של אפסים

נתבונן באוטומט $A=\left\{\Sigma ,Q,q_{0},F,\delta \right\}$ המוגדר כך:

• $\Sigma =\left\{0,1\right\}$
• $Q=\left\{q_{0},q_{1}\right\}$
• $F=\left\{q_{0}\right\}$
• $\ \delta$ מתוארת בטבלת מעברים:

1	0	$\delta$
$\ q_{0}$	$\ q_{1}$	$\ q_{0}$
$\ q_{1}$	$\ q_{0}$	$\ q_{1}$

אס"ד זה ניתן להצגה גם כגרף המכוון הבא:

כאשר:

• כל מעגל מייצג מצב (שמו הייחודי רשום במרכזו), ומעגל כפול מייצג מצב מקבל (מעגל בודד מייצג מצב לא מקבל).
• כל קשת בין שני מצבים מייצגת מעבר בין שני המצבים (בהתאם לכיוון החץ) והאות שרשומה עליה מייצגת את אות הקלט, שבעת קריאתה, יתבצע המעבר (רק אם אנו נמצאים כרגע במצב שממנו יוצא חץ זה, ובהתאם לכיוונו, כמובן).

ניתן לראות שאס"ד זה עובר ממצב אחד לאחר רק בעת קריאת $0$, וקל לראות (או להוכיח באינדוקציה), שמילה תתקבל אם ורק אם מספר המופעים של $0$ בה יהיה זוגי.

אוטומט המקבל מילים המתחילות ברצף 101

המצב המקבל היחיד הוא Q4 (בירוק), ורק אם הגענו אליו, כל אות נוספת כלשהי שתוקלד/תיקרא לא תשפיע על קביעת האוטומט הסופית בנוגע לשייכות (או אי-שייכות) המילה לשפה, ונישאר באותו מצב – לכן, מתבצע מעבר לולאתי ממצב זה לעצמו, בין אם מגיעה האות $\ 0$ ובין אם מגיעה האות $\ 1$ (כל אותיות ה-א"ב). המצב Q5 ׁ(בסגול) מכונה "מצב מלכודת" (כי לא ניתן לצאת ממנו) (קרוי גם "מצב סופג"), הזוכר כי הקלט אינו עונה על הציפייה; כלומר, הקלט אינו פותח ברצף "101", ולכן, קליטת אות א"ב נוספת כלשהי אינה משנה דבר.

האוטומט המוצג באיור דואג לכך, שמילות הקלט שיעברו דרכו יתחילו ברצף "101". א"ב האוטומט הן הספרות 0 ו-1, המצב המקבל הוא מצב Q4 (מיוצג על ידי עיגול כפול), המצב ההתחלתי (המצב שבו מתחיל האוטומט; כלומר, לפני שנקלטה אות כלשהי) הוא המצב Q1, ו-Q5 הוא "מצב מלכודת". אם אוטומט זה היה מופעל על ידי מחשב פרימיטיבי בעל מקלדת עם הכפתורים 0 ו-1 בלבד ונורה המציינת אם הקלט חוקי (בשפה) או לא, האוטומט היה מתחיל במצב Q1 והנורה הייתה כבויה. אם המשתמש היה מקליד את המחרוזת "000", או "100" בהתחלה, קריאה נוספת של כל אות הייתה גורמת למילה (הקלט) לא להיקלט על ידי האוטומט, מאחר שהוא היה מגיע למצב המלכודת Q5. מאידך, אם המשתמש היה מקיש בהתחלה את המחרוזת "101", הנורה הייתה נדלקת, כאינדיקציה לכך שהמילה חוקית (בשפה). קריאת אות נוספת (הקשה על הכפתורים 0 או 1 על ידי המשתמש) לא הייתה משנה עובדה זו, והנורה הייתה ממשיכה לדלוק. כל עוד נמצאים במצב שאינו Q4, הנורה כבויה. רק במצב Q4 הנורה דולקת.

ראו גם

• תורת האוטומטים - מונחים
• אוטומט סופי
  • אוטומט סופי לא דטרמיניסטי - האס"ד הוא מקרה פרטי של אוטומט סופי לא דטרמיניסטי (אסל"ד) וניתן להוכיח כי הם שקולים זה לזה בכוחם החישובי, אם כי מספר המצבים שבאסל"ד עשוי להיות קטן אקספוננציאלית ממספר המצבים באס"ד המזהה אותה שפה.
• אוטומט מחסנית - אוטומט בעל כמות זיכרון גדולה כרצוננו, אך הגישה לזיכרון זה מוגבלת, המשמש לזיהוי שפות חופשיות הקשר (אוטומט המחסנית אינו שקול לאוטומט הסופי).
• מכונת טיורינג

לקריאה נוספת

• שמואל זקס ונסים פרנסיז, ‏אוטומטים ושפות פורמליות א, האוניברסיטה הפתוחה, 2000 (הספר במיזם פא"ר)
• שמואל זקס ונסים פרנסיז, ‏אוטומטים ושפות פורמליות ב, האוניברסיטה הפתוחה, 2000 (הספר במיזם פא"ר)

קישורים חיצוניים

• אוטומטים סופיים ושפות רגולריות, בבלוג "לא מדויק" של גדי אלכסנדרוביץ', 30 באוגוסט 2009
• אוטומטים ושפות רגולריות – מבוא, בבלוג "לא מדויק" של גדי אלכסנדרוביץ', 11 בנובמבר 2014

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34983094אוטומט סופי דטרמיניסטי