אלגברת ז'ורדן ריבועית
במתמטיקה, אלגברת ז'ורדן ריבועית היא מבנה אלגברי, המכליל את אלגברת ז'ורדן. יתרונו בכך שאפשר להגדיר אותו מעל חוג כלשהו, וכך לפתח את תורת המבנה גם כאשר 2 אינו הפיך בחוג הבסיס.
הגדרה
יהי k חוג קומוטטיבי. אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל k היא מודול J, עם העתקה $ U{\,:\,}J\rightarrow \operatorname {End} _{k}(J) $ (שמסמנים $ \,U_{x}=U(x) $) ואיבר מיוחד $ 1\in J $, כך שמתקיימות האקסיומות הבאות מעל כל הרחבת סקלרים של J. ראשית, U היא העתקה ריבועית; כלומר, $ \,U_{\alpha x}=\alpha ^{2}U_{x} $, ו-$ \,U_{x,y}=U_{x+y}-U_{x}-U_{y} $ היא תבנית ביליניארית; שנית, $ \,U_{1}={\bf {1}} $; ושלישית, מתקיימות הזהות היסודית $ \,U_{U_{x}y}=U_{x}U_{y}U_{x} $, והזהות $ \,U_{x}V_{y,x}=V_{x,y}U_{x} $ כאשר $ \,V_{x,y}z=U_{x,z}y $.
באלגברת ז'ורדן ריבועית מסמנים $ \,\{xyz\}=U_{x,z}y $; זו תבנית טריליניארית, סימטרית להחלפת המשתנים החיצוניים. מן הזהויות נובע שהפעולה $ \,x\circ y=\{x1y\}=\{xy1\}=\{1xy\} $ היא ביליניארית וקומוטטיבית. מנקודת המבט של התבנית הטרילינארית, $ \,U_{x,y},V_{x,y} $ הן פעולות של האלגברה על עצמה, ובכך הן מכלילות את אלגברת האופרטורים המופיעה בכל סיטואציה לא אסוציאטיבית.
הקשר לאלגברות ז'ורדן
כאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, כל אלגברת ז'ורדן ריבועית מגדירה אלגברת ז'ורדן לפי הפעולה $ \,xy={\frac {1}{2}}x\circ y $; ולהפך, כל אלגברת ז'ורדן מגדירה אלגברת ז'ורדן ריבועית על ידי $ \,U_{x}=2L_{x}^{2}-L_{x^{2}} $ (כאשר $ \,L_{x}y=xy $), ואז $ \,\{xyz\}=2(x(zy)+z(xy)-(xz)y) $ (בפרט, אם A אלגברה אסוציאטיבית, אז באלגברת ז'ורדן שהיא מגדירה מתקיים $ \,U_{x}y=xyx $). זהויות אלו הפוכות זו לזו, ומראות שכאשר 2 הפיך בחוג הבסיס, התאוריה של אלגברות ז'ורדן ריבועיות מתלכדת עם זו של אלגברות ז'ורדן.
דוגמאות
אם A אלגברה אלטרנטיבית מעל k, ההגדרה $ \,U_{x}y=xyx $ הופכת את A לאלגברת ז'ורדן ריבועית, שאותה מסמנים ב-$ A^{+} $. תת-אלגברה של אלגברה כזו (כאשר A אסוציאטיבי) היא מיוחדת; כל אלגברת ז'ורדן ריבועית שאינה מיוחדת היא יוצאת דופן.
איברים, אידיאלים ומנות
תהי J אלגברת ז'ורדן ריבועית מעל חוג קומוטיבי k. תת-מודול I מעל k הוא אידיאל אם $ \,U_{I}J,U_{J}I\subseteq I $. אם I אידיאל אז אפשר להגדיר את אלגברת המנה J/I. האלגברה פשוטה אם אין לה אידיאלים, ופשוטה לחלוטין אם היא נותרת פשוטה אחרי כל הרחבת סקלרים. המרכז של אלגברה פשוטה הוא שדה. (בממד סופי ומעל שדה ממאפיין שונה מ-2, אלגברה היא פשוטה לחלוטין אם ורק אם היא פשוטה מרכזית).
שגיאות פרמטריות בתבנית:מיון ויקיפדיה
שימוש בפרמטרים מיושנים [ דרגה ] אלגברת ז'ורדן ריבועית31346458