שורש ממוצע הריבועים

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
(הופנה מהדף RMS)
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שורש ממוצע הריבועים, או ממוצע RMS (באנגלית: Root mean square), הוא מספר המשמש לתיאור ממוצע הגודל של פונקציה או של סדרת ערכים. זהו שם אחר לנורמת L2, כמו גם לשונות של משתנה מקרי בעל תוחלת אפס.

הגדרה

שורש ממוצע הריבועים של סדרת הערכים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{x_1,x_2,\dots,x_n\}} הוא שורש הממוצע החשבוני של ריבועי הערכים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{{x_1}^2 + {x_2}^2 + \cdots + {x_n}^2} \over n} }

ממוצע RMS של פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! f(t)} בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_1 \le t \le T_2} הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_{\mathrm{rms}} = \sqrt {{1 \over {T_2-T_1}} {\int_{T_1}^{T_2} {[f(t)]}^2\, dt}} }

ממוצע RMS של הפונקציה על פני כל התחום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle - \infty \le t \le \infty} הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f_\mathrm{rms} = \lim_{T\rightarrow \infty} \sqrt {{1 \over {2T}} {\int_{-T}^{T} {[f(t)]}^2\, dt}}} . אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! f(t)} היא פונקציה מחזורית, גודל זה שווה לממוצע ה-RMS על פני מחזור אחד.

דוגמאות

צורת הגל משוואה ממוצע RMS
גל סינוסי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=a\sin(2\pi ft)\,} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a}{\sqrt{2}}}
גל מרובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=\begin{cases}a & (ft \mod 1) < 0.5 \\ -a & (ft \mod 1) > 0.5 \end{cases}} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a\,}
שן מסור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=2a(ft \mod 1)-a\,} הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a \over \sqrt 3}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t} מסמן זמן, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ f} - תדירות, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a} - המשרעת, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \mbox{mod}} - פעולת המודולו.

שימושים

הספק חשמלי

בהנדסת חשמל, לעיתים קרובות יש צורך לדעת מהו ההספק החשמלי הנצרך על ידי נגד. ההספק P הנצרך על ידי נגד בעל התנגדות R כאשר זורם דרכו זרם קבוע I הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = I^2 R\,\!} .

אם בנגד זורם זרם חילופין (I(t, ההספק הרגעי הנצרך על ידו משתנה ובמקומו מחשבים את ההספק הממוצע: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\mathrm{avg} = \langle I(t)^2R \rangle = R\langle I(t)^2 \rangle = (I_\mathrm{RMS})^2R\,\!} . כלומר הזרם ה-RMS הוא הזרם הקבוע שהיה גורם לאותה צריכת הספק ממוצעת על ידי הנגד.

את ההספק ניתן לרשום גם כתלות במתח החשמלי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P = {V^2\over R}\,\!} , ובאותו האופן במתח חילופין ההספק הממוצע הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\mathrm{avg} = {(V_\mathrm{RMS})^2\over R}\,\!} . מתח החילופין הנפוץ ביותר הוא סינוסי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle V=V_0\sin(2\pi ft)\,} , ועבורו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_\mathrm{avg} = {V_0^2 \over 2R}\,\!} .

מאחר שמתח ה-RMS שימושי לחישוב הספקים, המתח המוצהר של זרם החילופין הביתי (220 וולט בשיטה האירופית ו-110 וולט בשיטה האמריקאית) הוא מתח ה-RMS ולא המשרעת.

מהירות

בפיזיקה, גודל מהירות החלקיקים בגז אידאלי קלאסי מתפלגת לפי התפלגות מקסוול-בולצמן וכל רכיב של המהירות בשלושת כיווני המרחב מתפלג באופן נורמלי. לכן, הממוצע החשבוני של וקטורי המהירות הוא וקטור האפס, ואת הממוצע החשבוני של גודל המהירות ניתן לחשב כתוחלת של התפלגות מקסוול-בולצמן על ידי אינטגרל גאוסיאני. לעומת זאת את ממוצע ה-RMS של המהירויות ניתן למצוא באופן פשוט יותר משיקולי אנרגיה ולקבל קשר בינו לבין טמפרטורת הגז.

האנרגיה הקינטית הממוצעת של מולקולה בגז אידאלי תלויה בממוצע ה-RMS של מהירות המולקולות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_\mathrm{k} = {{1}\over{2}}mv_\mathrm{rms}^2 = {{3}\over{2}}nRT = \frac{3}{2}NkT} , ולכן המהירות ה-RMS היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_\mathrm{rms} = \sqrt {{2E_\mathrm{k}}\over{m}} = \sqrt {{3kT}\over{m}} = \sqrt {{3RT}\over{M_m}}} , כאשר m המסה של מולקולה, M המסה המולרית של הגז, R הוא קבוע הגזים, T הטמפרטורה במעלות קלווין, N מספר המולקולות ו-k קבוע בולצמן.

שוֹנוּת

בסטטיסטיקה, השונות של אוכלוסייה מוגדרת כהפרש בין ממוצע הריבועים (ריבוע ממוצע ה-RMS) לבין ריבוע הממוצע החשבוני: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sigma_{x}}^2 = {x_{\mathrm{rms}}}^2 - \bar{x}^2} , או באופן שקול: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {x_{\mathrm{rms}}}^2 = \bar{x}^2 + {\sigma_{x}}^2} . כלומר, ממוצע ה-RMS תמיד גדול או שווה לממוצע החשבוני, והוא שווה לשונות במקרה שהממוצע החשבוני הוא אפס.

קישורים חיצוניים

אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=שורש_ממוצע_הריבועים&oldid=756188"