מספר מעגלי

באופן ויזואלי מתקבלות מכפלותיו של מספר ציקלי (מעגלי) על ידי סידור ספרותיו במעגל וסיבוב המעגל

מספר ציקלי (בבסיס נתון) הוא מספר שלם בן $ n $ ספרות באותו בסיס, שכל כפולה שלו במספר קטן מ־$ n $ מתקבלת על ידי העברת ספרות מראש המספר אל זנבו. למספרים ציקליים קשר לשברים עשרוניים מחזוריים.

המספר הציקלי הקטן ביותר (בבסיס $ b=10 $) הוא 142857; אכן, הכפולות של המספר הזה הן

$ 285714\ ,\ 428571\ ,\ 571428\ ,\ 714285\ ,\ 857142 $

כולן סיבובים של המספר עצמו. מספרים ציקליים גדולים יותר, כמו המספר הציקלי 0588235294117647, פותחים בכמה אפסים מובילים.

יש נוסחה המאפשרת לכתוב את כל המספרים הציקליים. לכל מספר ראשוני $ p $ זר ל־10, יש למספר 10 סדר בחבורת אוילר של $ p $ . הסדר הזה הוא $ t $ החיובי הקטן ביותר עבורו $ 10^{t}\equiv 1{\pmod {p}} $ . לפי משפט אוילר, הסדר של 10 תמיד מחלק את $ p-1 $ . אומרים ש-10 יוצר של חבורת אוילר (של $ p $) אם הסדר שלו הוא הערך המקסימלי האפשרי, כלומר $ p-1 $ .

מתברר שכל מספר ציקלי עשרוני הוא מהצורה $ {\frac {10^{p}-1}{p}} $ (והכפולות של מספר זה) כאשר $ p $ ראשוני זר ל-10, שעבורו 10 הוא יוצר של חבורת אוילר מסדר $ p $ . המספרים הציקליים הראשונים מתקבלים עבור $ p=7,17,19,23,29,47,59,61 $ . אם 10 אכן יוצר את חבורת אוילר של $ p $ , אז ההצגה העשרונית של $ {\frac {1}{p}} $ היא מחזורית, עם מחזור באורך $ p-1 $ המהווה בעצמו מספר ציקלי. כך למשל $ {\frac {1}{7}}=0.142857142857\ldots $ .

אם 10 אינו יוצר של חבורת אוילר, כמו במקרה של $ p=13 $ , שעבורו הסדר הוא 6 משום ש־$ 10^{6}-1=76923\cdot 13 $ , מתקבל מספר "ציקלי למחצה": כל תמורה ציקלית של 076923 היא כפולה של המספר הזה, אבל לא כל כפולה היא תמורה ציקלית.