תת-סדרה

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

באנליזה מתמטית, תת־סדרה היא קבוצה חלקית מתוך הסדרה המקורית, המסודרת באותו הסדר. באופן לא פורמלי, תת־סדרה מתקבלת מהסדרה המקורית על ידי הסרת חלק מהאברים.

למשל: לסדרה $a_{n}={\frac {1}{n}}$ יש תתי־סדרות $b_{n}=a_{2n}={\frac {1}{2n}},c_{n}=a_{2n^{2}+7}={\frac {1}{2n^{2}+7}}$ .

סדרה נחשבת לתת־סדרה של עצמה. תת־סדרה של תת־סדרה היא בעצמה תת־סדרה גם של הסדרה המקורית.

ניסוח פורמלי

תהי $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ סדרה כלשהי, ותהי $\{n_{k}\}_{k=1}^{\infty }$ סדרה עולה ממש של מספרים טבעיים. אז הסדרה $\{a_{n_{k}}\}_{k=1}^{\infty }$ נקראת תת־סדרה של $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ .

גבול של תת־סדרה

$L$ נקרא גבול חלקי של הסדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ אם קיימת תת־סדרה של $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ המתכנסת ל־$L$ . הגבולות החלקיים של סדרה נקראים נקודות הצטברות שלה. קבוצת נקודות ההצטברות היא קבוצה סגורה.

סדרה מתכנסת (במובן הרחב) אם ורק אם כל הגבולות החלקיים שלה שווים. כך למשל הסדרה $a_{n}=3+{\frac {1}{\sqrt {n}}}$ מתכנסת ל־3, ולכן כל תת־סדרה שלה, למשל $b_{n}=a_{n^{2}}=3+{\frac {1}{n}}$ , מתכנסת לאותו מספר. הסדרה $c_{n}=4+(-1)^{n}+{\frac {1}{n}}$ מתבדרת, אולם תת־הסדרה שלה $d_{n}=c_{2n}=5+{\frac {1}{n}}$ , מתכנסת ל־5. לכן, אם ידוע שסדרה מתכנסת, אז אפשר לחשב את הגבול שלה דרך חישוב הגבול של תת־סדרה.

לכל סדרה יש לפחות גבול חלקי אחד, סופי או אינסופי. הסיבה לכך היא שאם הסדרה חסומה אז יש לה תת-סדרה מתכנסת לפי משפט בולצאנו-ויירשטראס, ואם היא אינה חסומה, אז קל לבנות מאבריה תת-סדרה שמתכנסת לגבול אינסופי.

גבול עליון וגבול תחתון

נעסוק בהגדרה של גבול עליון, וגבול תחתון מוגדר ומסומן באופן דומה.

גבול עליון של סדרה של מספרים ממשיים מוגדר כגבול החלקי הגדול ביותר שלה. הגבול העליון תמיד קיים (סופי במקרה של סדרה חסומה או אינסופי אחרת). גבול עליון זהה לגבול של סדרת החסמים העליונים של זנבות הסדרה.

באופן פורמלי: תהי $a_{n}$ סדרה. נגדיר סדרה חדשה $b_{m}$ באופן הבא:

${\begin{aligned}b_{m}=\sup\{a_{m},a_{m+1},a_{m+2},\ldots \}\\b_{1}=\sup\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\ldots \}\\b_{2}=\sup\{a_{2},a_{3},a_{4},\ldots \}\\b_{3}=\sup\{a_{3},a_{4},\ldots \}\end{aligned}}$

וכן הלאה.

אם הסדרה $b_{m}$ מתכנסת ל־$L$ , אז $L$ הוא גבול עליון של $a_{n}$ .

נהוג לסמן גבול עליון $\limsup _{n\to \infty }a_{n}$ או ${\overline {\lim _{n\to \infty }}}a_{n}$ .

ראו גם

• משפט בולצאנו-ויירשטראס