תת-מרחב שמור

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באלגברה ליניארית תת-מרחב שמור של העתקה ליניארית , הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב אינווריאנטי".

אם תת-מרחב שמור של אז ניתן לצמצם את לתת-המרחב ולקבל:

הגדרה

יהי תת-מרחב ב- ותהי : העתקה ליניארית. נאמר ש תת-מרחב שמור של אם .

תהי מטריצה ריבועית מסדר מעל שדה . נאמר ש- הוא תת-מרחב שמור של אם לכל מתקיים .

דוגמה פשוטה

נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא: אזי תת-המרחב הוא תת-מרחב שמור , וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של עליו באופן הבא: .

דוגמאות נוספות

יהי מרחב וקטורי ו העתקה ליניארית, אזי:

  1. עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי .
  2. אם ערך עצמי של , אזי המרחב העצמי של הוא שמור .
  3. וגם תתי-מרחב שמורי .

תכונות

משפט הפירוק היסודי (פרימרי)

יהי מרחב וקטורי בעל ממד סופי, העתקה ליניארית ויהי הפולינום המינימלי של , נוכל להציג את כמכפלה של גורמים אי פריקים .

אזי פירוק ישר של לתתי-מרחב שמורי .

בנוסף אם לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של .

פעולות על המרחב

יהי תתי-מרחב שמורים של , אזי:

  • תת-מרחב שמור .
  • תת-מרחב שמור .
  • אם מרחב עצמי של , אזי כל תת-מרחב של , הוא תת-מרחב שמור .

תת-מרחב ציקלי

יהי וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו העתקה ליניארית. אזי קיים מקסימלי, כך ש קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.

תת-המרחב אשר הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של ביחס ל- ול-, והוא תת-מרחב שמור ה הקטן ביותר המכיל את .

הטלות

ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)

יהי מרחב וקטורי בעל ממד המחולק לסכום ישר של תתי-מרחב, לכל תת-מרחב נצמיד הטלה , אזי הם שמורי אם ורק אם לכל .

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

31519684תת-מרחב שמור