באלגברה ליניארית תת-מרחב שמור של העתקה ליניארית , הוא תת-מרחב וקטורי שהעתקה שולחת את הווקטורים שלו בחזרה לעצמו. תת-מרחב כזה נקרא גם "תת-מרחב אינווריאנטי".
אם תת-מרחב שמור של אז ניתן לצמצם את לתת-המרחב ולקבל:
הגדרה
יהי תת-מרחב ב- ותהי : העתקה ליניארית. נאמר ש תת-מרחב שמור של אם .
תהי מטריצה ריבועית מסדר מעל שדה . נאמר ש- הוא תת-מרחב שמור של אם לכל מתקיים .
דוגמה פשוטה
נגדיר העתקה ליניארית באופן הבא: אזי תת-המרחב הוא תת-מרחב שמור , וניתן לכתוב את ההעתקה המצומצמת של עליו באופן הבא: .
דוגמאות נוספות
יהי מרחב וקטורי ו העתקה ליניארית, אזי:
- עצמו ותת-מרחב האפס תתי-מרחב שמורי .
- אם ערך עצמי של , אזי המרחב העצמי של הוא שמור .
- וגם תתי-מרחב שמורי .
תכונות
משפט הפירוק היסודי (פרימרי)
יהי מרחב וקטורי בעל ממד סופי, העתקה ליניארית ויהי הפולינום המינימלי של , נוכל להציג את כמכפלה של גורמים אי פריקים
.
אזי פירוק ישר של לתתי-מרחב שמורי .
בנוסף אם לכסינה, אזי הפירוק הוא לתתי-מרחב עצמיים של .
פעולות על המרחב
יהי תתי-מרחב שמורים של , אזי:
- תת-מרחב שמור .
- תת-מרחב שמור .
- אם מרחב עצמי של , אזי כל תת-מרחב של , הוא תת-מרחב שמור .
תת-מרחב ציקלי
יהי וקטור במרחב וקטורי כלשהו ו העתקה ליניארית. אזי קיים מקסימלי, כך ש קבוצה של וקטורים בלתי תלויים.
תת-המרחב אשר הוא בסיס שלו נקרא תת-מרחב ציקלי של ביחס ל- ול-, והוא תת-מרחב שמור ה הקטן ביותר המכיל את .
הטלות
- ערך מורחב – הטלה (מתמטיקה)
יהי מרחב וקטורי בעל ממד המחולק לסכום ישר של תתי-מרחב, לכל תת-מרחב נצמיד הטלה , אזי הם שמורי אם ורק אם לכל .
31519684תת-מרחב שמור