תרמודינמיקה יחסותית

תרמודינמיקה יחסותית היא הכללה של התרמודינמיקה הקלאסית כך שתתיישב עם תורת היחסות הפרטית. ניסוח של תיאוריה תרמודינמית יחסותית הוא עדיין שנוי במחלוקת גם אחרי יותר מ-110 שנים, כאשר אלברט איינשטיין ומקס פלאנק הציגו את הניסיון הראשון לתיאוריה כזאת ב-1907-1908.

עד היום אין הסכמה לגבי אלו טרנספורמציות לורנץ מתאימות לתאר את האופן שבו גדלים תרמודינמיים משתנים במעבר בין מערכות ייחוס בתורת היחסות, והאם יש לשאלה פתרון. החל מאיינשטיין ופלאנק, מספר ניסוחים לתיאוריה תרמודינמית יחסותית הועלו, וניתן לחלקם לשלוש גישות. חלקם טוענים, שהטמפרטורה של גוף במערכת ייחוס בתנועה ביחס למערכת ייחוס במנוחה, תהיה נמוכה יותר, חלקם שהיא תהיה גבוהה יותר, וחלקם שהיא לא תשתנה.

הניסוח הראשון שניתן עם כל אחת מהגישות בהתאמה הוא: הניסוח של איינשטיין ופלאנק, הניסוח של אוט (Ott) וארזליס (Arzelies), הניסוח של לנדסברג (Landsberg) . הם גם מהווים ניסוחים מייצגים לכל אחת מהגישות.

רקע היסטורי

זמן קצר לאחר שאיינשטיין פרסם את עבודתו המהפכנית על תורת היחסות הפרטית, הוצגה הבעיה הבאה: תהי מערכת K הנמצאת בשיווי משקל תרמודינמי ותהיינה שתי מערכות ייחוס O ו-’O, כאשר O נמצאת במנוחה ביחס ל-K ו-’O נמצאת בתנועה ביחס ל-O במהירות v, האם ניתן למצוא טרנספורמציית לורנץ כדי לבטא את הגדלים התרמודינמיים במערכת הייחוס 'O בעזרת הגדלים התרמודינמיים במערכת הייחוס O?

ניסיונות ראשונים לפתור את הבעיה היו של פלאנק ואיינשטיין. שניהם הציעו את סט הטרנספורמציות הבא:

$T'={\frac {T}{\gamma }},S'=S,p'=p$

כאשר T הטמפרטורה, S האנטרופיה ו- p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס O, אשר נמצאת במנוחה ביחס ל-K, ו-'T הטמפרטורה, 'S האנטרופיה ו-'p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס ’O, אשר נעה ביחס ל-O במהירות v.

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

זהו פקטור לורנץ, כאשר v היא המהירות של מערכת הייחוס 'O ביחס למערכת הייחוס O ו- c היא מהירות האור.

ניתן לראות שפקטור לורנץ הוא גדול מ-1. לכן לפי איינשטיין ופלאנק, הטמפרטורה של S במערכת הנעה ’O תהיה קטנה יותר לעומת הטמפרטורה במערכת במנוחה O ואילו האנטרופיה והלחץ אינם משתנים- הם אינווריאנטים לורנץ.

לאחר מכן, פיזיקאים לא הקדישו תשומת לב רבה לבעיה של ניסוח תרמודינמיקה יחסותית, כנראה משום שהם לא מצאו לפתרון הבעיה יישומים מעשיים. סט הטרנספורמציות של איינשטיין ופלאנק היה מקובל על הקהילה המדעית במשך יותר מ-50 שנה. אך בשנת 1963, אוט נקט בגישה שונה מאשר איינשטיין ופלאנק והגיע לניסוח אחר של תיאוריה תרמודינמית יחסותית.  

לפי הניסוח של אוט, הגדלים התרמודינמיים עוברים טרנספורמציית לורנץ באופן הבא:

$T'=\gamma T,S'=S,p'=p$

כאשר T הטמפרטורה, S האנטרופיה ו- p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס O, אשר נמצאת במנוחה ביחס ל-K, ו-'T הטמפרטורה, 'S האנטרופיה ו-'p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס ’O, אשר נעה ביחס ל-O במהירות v.

הגודל $\gamma$ הוא פקטור לורנץ והוא גדול מ-1. לכן לפי הניסוח של אוט, הטמפרטורה של K במערכת הייחוס 'O הנעה תהיה גדולה יותר לעומת הטמפרטורה במערכת הייחוס במנוחה O. לעומת זאת, בניסוח של אוט, האנטרופיה והלחץ של המערכת K אינם משתנים, כלומר הם אינווריאנטים לורנץ, כמו בניסוח של פלאנק ואיינשטיין.

לפי אוט, במערכת ייחוס הנעה לעומת המערכת K, המערכת K תראה חמה יותר מאשר במערכת ייחוס אשר במנוחה לעומת K. זאת, בניגוד לאיינשטיין ופלאנק, שטענו שהיא תראה קרה יותר. גישת אוט זכתה לתמיכה מצד עבודות נוספות שיצאו בשנים לאחר פרסום עבודתו, כגון העבודה של ארזליס וסוטקליף. גישת ארזליס אמנם הייתה שונה משל אוט, אך הוא הגיע למסקנה דומה.

עקב שתי העבודות של אוט וארזליס, מחלוקת קשה התעוררה בקהילה המדעית, בין גישת איינשטיין ופלאנק לגישת אוט וארזליס. המחלוקת הביאה פיזיקאים להקדיש תשומת לב לבעיה של תרמודינמיקה יחסותית. עקב כך, מספר עבודות פורסמו בנושא בשנות ה-60 עם ניסוחים שונים לתיאוריה תרמודינמית יחסותית.

ב-1966, פרסם לנדסברג עבודה עם ניסוח משלו לתרמודינמיקה יחסותית ובה הטמפרטורה היא אינווריאנט לורנץ, בנוסף לאנטרופיה וללחץ. כלומר במערכת ייחוס הנעה ביחס למערכת K, המערכת K לא תראה חמה או קרה יותר, לעומת במערכת ייחוס הנמצאת במנוחה ביחס ל-K.

לפי הניסוח של לנדסברג, גדלים התרמודינמיים עוברים טרנספורמציית לורנץ באופן הבא:

$T'=T,S'=S,p'=p$

כאשר T הטמפרטורה, S האנטרופיה ו- p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס O, אשר נמצאת במנוחה ביחס ל-K, ו-'T הטמפרטורה, 'S האנטרופיה ו-'p הלחץ של מערכת K במערכת ייחוס ’O, אשר נעה ביחס ל-O במהירות v.

שלושת הגישות הראשיות הללו: גישת פלאנק ואיינשטיין, גישת אוט וארזליס וגישת לנדסברג, הביאו לשורה של עבודות ברבות השנים, כל אחת תומכת באחת מהן.

בשנת 1969, שלוש שנים לאחר עבודתו של לנדסברג, פרסמו קלוורלי וסלגרלי עבודה עם גישה רביעית. לפיהם, זה הגיוני להגיד טמפרטורה רק במערכת המנוחה O ולכן הם מסיקים שאין טרנספורמציית לורנץ כללית לטמפרטורה ושאר הגדלים התרמודינמיים. גישה זו גם היא נתמכה על ידי מספר עבודות. יש לציין שאיינשטיין בעצמו תמך בכל אחת מהגישות בשלבים המאוחרים של חייו.

עיקר המחלוקת בין הניסוחים השונים נובע מהגדרות שונות של המחברים לגדלים התרמודינמיים והנחות בסיס שונות. בשל מספר האפשרויות הרב והקושי לבדוק את ההשערות בניסוי, הבעיה נשארת פתוחה. הוויכוח הגיע למעין הסכמה כללית עמומה שכל אחת מהתיאוריות עקבית במסגרת העבודה שלה בשנות ה-70 המוקדמות. אמנם יש חוקרים הסוברים שהבעיה נפתרה, אך יש כאלו שעדיין סוברים שהבעיה פתוחה.

האחרונים מנסים להכריע בין הניסוחים השונים לתרמודינמיקה יחסותית או לאחד ביניהן לתיאוריה אחת, שממנה שלושת הניסוחים יכולים לנבוע. במאמר שפורסם ב-2017, בג'ורנל Nature Reports, הוצע סט של טרנספורמציות לורנץ, שנוסחו תחת ההנחה שחוקי התרמודינמיקה צריכים להיות קווריאנטיים, ומהם עולה שגישת אוט וארזליס נכונה. לעומת זאת, במאמר שפורסם ב-2019, בג'ורנל Annals of Physics, כותבי המאמר טוענים שהכריעו בין הניסוח של אוט לניסוח של פלאנק ואיינשטיין, לטובת פלאנק ואיינשטיין. הם מגיעים למסקנה במאמר שהניסוח של אוט אינו מתאים כי החוק הראשון של התרמודינמיקה אינו קווריאנטי בניסוח הזה, בניגוד לניסוח של פלאנק ואיינשטיין. לסיום, במאמר שפורסם ב-2012, בג'ורנל Progess of Theoretical Physics, כותבי המאמר טוענים שניתן לקבל את שלוש התיאוריות מתיאוריה אחת והיא התיאוריה של ואן קמפן ווורנר ישראל.

ניסוח איינשטיין- פלאנק לתרמודינמיקה יחסותית

ב-1907, איינשטיין פרסם את התיאוריה לתרמודינמיקה יחסותית. הוא הניח שהמערכת K סגורה בקופסה שאטומה לקרינה. הוא טען שמכיוון שהמערכת K במנוחה במערכת הייחוס ’O ונעה במהירות ${\vec {v}}=v{\hat {x}}$ ביחס למערכת O, הרכיבים הקרטזיים של כוח ${\vec {F}}$ במערכת עוברים טרנספורמציית לורנץ כך: $F_{x}'=F_{x},F_{y}'={\frac {F_{y}}{\gamma }},F_{z}'={\frac {F_{z}}{\gamma }}$ . עקב כך, אם הכוח נובע מלחץ, אז: $F_{x}'=p'a_{x}',F_{y}'=p'a_{y}',F_{z}'=p'a_{z}'$ כאשר $p'$ הוא הלחץ במערכת הייחוס 'O ו-${\vec {a}}'=(a_{x}',a_{y}',a_{z}')$ הוא וקטור המאונך למשטח שעליו מופעל הלחץ ומכוון לכיוון פנים הקופסה שסוגרת את המערכת K בתוכה.

הוא לקח שהווקטור ${\vec {a}}$ עובר טרנספורמציה כמו וקטור הכוח: $a_{x}'=a_{x},a_{y}'={\frac {a_{y}}{\gamma }},a_{z}'={\frac {a_{z}}{\gamma }}$. אז הכוח במערכת הייחוס O הוא: $F_{x}=p'a_{x},F_{y}=p'a_{y},F_{z}=p'a_{z}$. מכאן, הוא הסיק שהלחץ אינו משתנה במעבר בין מערכות הייחוס, כלומר הוא אינווריאנט לורנץ: $p'=p$.

איינשטיין הסכים עם פלאנק שאנטרופיה צריכה להיות בלתי תלויה במערכת הייחוס, כלומר אינווריאנט לורנץ. נימוקו של פלאנק היה הניסוי המחשבתי הבא. תהי מערכת K המונעת על ידי תהליך הפיך אדיאבטי ממנוחה ביחס למערכת הייחוס O, כך שבסוף התהליך היא במנוחה ביחס למערכת ייחוס ’O. מכיוון שהתהליך הפיך, האנטרופיה של המערכת איננה משתנה בעקבותיו, ולכן האנטרופיה בתחילת התהליך צריכה להיות שווה לאנטרופיה בסופו. כלומר, האנטרופיה של המערכת K כשהיא במנוחה ביחס למערכת O והאנטרופיה שלה כשהיא במנוחה ביחס למערכת ’O צריכות להיות שוות. לפיכך, האנטרופיה של המערכת K אינה תלויה במערכת הייחוס והיא אינווריאנט לורנץ, כלומר: $S'=S$.

איינשטיין הציע שבמערכת הייחוס ’O, שינוי חום קטן 'dQ ניתן לכתיבה כדיפרנציאל שלם: $dQ'=dE'+p'dV'-{\vec {v}}*d{\vec {G}}'$ כאשר 'E זוהי האנרגיה הכוללת של המערכת במערכת ייחוס 'O, לא רק האנרגיה הפנימית U כמו בתרמודינמיקה קלאסית, ’p הוא הלחץ, ’V הוא הנפח התלת ממדי של המערכת, ${\vec {v}}$ מהירות המערכת הייחוס 'O ביחס למערכת O ו-${\vec {G}}'$ הוא וקטור התנע.

נשים לב שבמערכת O: $dQ=dE+pdV$ כי המהירות של מערכת הייחוס O ביחס לעצמה היא אפס. נקודת המוצא של איינשטיין בניסוח שלו לתרמודינמיקה יחסותית היא שאם במערכת המנוחה O שינוי החום הוא dQ, אז במערכת הנעה 'O, ישנה תוספת אנרגיה $dE=\gamma dQ$ אבל תוספת האנרגיה אינה "חום טהור". במערכת הנעה, המערכת K נעה, ובתורת היחסות, שינוי אנרגיה משמעותו שינוי במסה, לפיכך קיים שינוי בתנע שנובע מהשינוי באנרגיה $dE=\gamma dQ$. השינוי הזה בתנע יכול לבצע עבודה ולכן יש להחסיר מהגודל $dE=\gamma dQ$ את העבודה הנדרשת כדי להאט את הגוף ממהירות v למנוחה, שהוא $dG'*v$.

לפי איינשטיין, האנרגיה הכוללת 'E עוברת טרנספורמציית לורנץ כדלקמן: $E'=\gamma [mc^{2}+E+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}pV]$.

בנוסף, ווקטור התנע 'G במערכת הייחוס ’O קשור לאנרגיה הכוללת E והנפח התלת ממדי V במערכת O באופן הבא: $G'=\gamma (m+{\frac {E+pV}{c^{2}}}){\vec {v}}$.

מתקבלים הדיפרנציאלים הבאים: $dE'=\gamma [dE+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}(pdV+Vdp)]$ ו- $dG'={\frac {\gamma {\vec {v}}}{c^{2}}}(dE+pdV+Vdp)$.

בנוסף, ידוע כבר שהלחץ הוא אינווריאנט לורנץ $p'=p$ והנפח עובר טרנספורמציית לורנץ: $V'={\frac {V}{\gamma }}$ (האורך בכיוון המהירות ${\vec {v}}$ מתכווץ בפקטור $\gamma$ במערכת הנעה ובכיוונים המאונכים לא משתנה).

הצבה נותנת: $dQ'=\gamma (1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})dE+\gamma {\frac {v^{2}}{c^{2}}}[pdV+Vdp-pdV-Vdp]+p{\frac {dV}{\gamma }}={\frac {dE+pdV}{\gamma }}={\frac {dQ}{\gamma }}$.

איינשטיין הניח שהקשר בין מעבר חום לטמפרטורה והאנטרופיה בתהליכים הפיכים dQ=TdS תקף בכל מערכות הייחוס. אך האנטרופיה אינווריאנט לורנץ כך ש- dS’=dS ולכן: $T'dS=T'dS'=dQ'={\frac {dQ}{\gamma }}={\frac {T}{\gamma }}dS$.

לפיכך, $T'={\frac {T}{\gamma }}$ ובמערכת ייחוס שנעה ביחס למערכת K, המערכת K תראה קרה יותר, מאשר במערכת ייחוס שבמנוחה ביחס למערכת K.

טרנספורמציית הטמפרטורה הזו זכתה לתמיכה חזקה מפלאנק והייתה מקובלת בקהילה המדעית במשך 50 שנה.

ניסוח אוט לתרמודינמיקה יחסותית

בניגוד לאיינשטיין, אוט הניח בניסוחו לתרמודינמיקה יחסותית ב-1963, ששינוי חום dQ במערכת המנוחה O, יגרור תוספת אנרגיה $dE=\gamma dQ$ במערכת הנעה ’O, כך שכל האנרגיה היא חום ואין אנרגיה שהולכת לביצוע עבודה. כלומר, החום עובר טרנספורמציית לורנץ כמו אנרגיה:$dQ'=\gamma dQ$.

הוא גם כן סבר שהאנטרופיה צריכה להיות אינווריאנט לורנץ כך ש: $S'=S$ והקשר בין מעבר חום לטמפרטורה ואנטרופיה בתהליכים הפיכים תקף בכל מערכות הייחוס: dQ=TdS. מכאן, הוא הסיק ש: $T'=\gamma T$ כלומר במערכת הנעה, במערכת K נראית חמה יותר, מאשר במערכת המנוחה.

אוט הסכים עם איינשטיין לגבי המסקנה שלו שהלחץ הוא אינווריאנט לורנץ. התוצאה שלו נתמכה על ידי ארזליס שנתן בעבודתו ניסוח לתרמודינמיקה יחסותית המגיעה לאותן מסקנות של אוט, אך עם 4- וקטורים. סוטקליף הסכים עם המסקנה שלהם לטרנספורמציה של הטמפרטורה וציין בעבודתו שמסט הטרנספורמציות של אוט-ארזליס ניתן להסיק ניסוח יחסותי למשוואת המצב של גז אידיאלי ולמשוואת השינוי באנטרופיה.

משוואת הגז האידיאלי המתקבלת היא: $\gamma ^{2}pV=nRT$. משוואת השינוי באנטרופיה: $dS={\frac {1}{T}}(dU+\gamma ^{2}pdV)$.

משוואת אלו אינן קווריאנטיות. זה בניגוד לאיינשטיין שסבר שהניסוח של החוק הראשון והחוק השני של התרמודינמיקה בגרסה היחסותית צריך להיות קווריאנטי. בנוסף, מתקבלת משוואת מצב יחסותית לגז אידיאלי שמשתנה בין מערכות ייחוס שונות. זאת מכיוון שבפיתוח המשוואה נלקח בחשבון ממוצע על המהירויות של צבר חלקיקים רב, מבלי להתחשב בכוחות שפועלים ביניהם, ולכן היא אינה תלויה במהירות מרכז המסה של המערכת.

סוטקליף הציג ניסוח משלו לתרמודינמיקה יחסותית, בו הגיע לאותה לאותה טרנספורמציה של הטמפרטורה כמו אוט וארזליס. אך מהניסוח שלו עולה שהגרסאות היחסותיות למשוואת המצב של גז אידיאלי ומשוואת השינוי באנטרופיה, הן המשוואות הקלסיות כך שהן קווריאנטיות וזהות בכל מערכות הייחוס. בניסוח שלו הוא הגדיר טמפרטורה ולחץ כנגזרות חלקיות של האנרגיה הפנימית, ולא באמצעות כוח שפועל על משטח סגור.

$T=({\frac {\partial U}{\partial S}})_{V}$ $p=-({\frac {\partial U}{\partial V}})_{S}$

אולם, בניסוח שלו הלחץ אינו אינווריאנט לורנץ יותר, בניגוד לעבודות הקודמות, אלא הלחץ במערכת ייחוס בתנועה יהיה גדול יותר, מאשר במערכת המנוחה: $p'=\gamma ^{2}p$. כלומר, הוא הצליח להתגבר על הבעיה בניסוח של אוט וארזליס, במחיר שהלחץ הפך לגודל שתלוי במערכת הייחוס.

ההסבר שלו לתוצאה שקיבל עבור הלחץ היא שבמקום להשתמש בלחץ מכני כמו בניסוחים הקודמים שהוצגו לתרמודינמיקה יחסותית, הוא השתמש בלחץ תרמודינמי. כלומר, לפיו במעבר לתורה תרמודינמית יחסותית, לחץ מכני, המוגדר על ידי כוח שפועל על קיר, ולחץ תרמודינמי, שמוגדר על ידי נגזרות חלקיות של האנרגיה הפנימית, אינם זהים עוד כמו שהיה בתרמודינמיקה קלאסית.

איינשטיין ביקר מחדש את הבעיה של תרמודינמיקה יחסותית בשנת 1952 בהתכתבות שלו עם מקס פון לאואה. בהתכתבותו עם פון לאואה, הוא כותב שהגיע למסקנה שגישת אוט וארזליס נכונה לגבי האופן שבו הטמפרטורה צריכה לעבור טרנספורמציית לורנץ. הנימוק שלו לעמדתו החדשה הוא בחינת מעבר החום בין שני אמבטי חום, שניהם בטמפרטורה T. האמבט 'L מונע על ידי מכונה בתהליך אדיאבטי הפיך, כאשר המכונה היא אמבט שלישי, אמבט "עזר", גם כן בטמפרטורה T, הנמצא במנוחה ביחס ל- 'L. האמבט L מעביר חום $\Delta Q$ באופן מחזורי למכונה, שנעה במהירות v. המכונה משחררת חום $\Delta Q'$ לאמבט 'L בכל מחזור וחוזרת למצב הראשוני שלה. איינשטיין טען שמכיוון שחום שעובר הוא אנרגיה, המכונה מוסרת לאמבט 'L חום $\Delta Q'=\gamma \Delta Q$. לכן סך העבודה המכנית שמתבצע בתהליך הוא: $\Delta W=\Delta Q'-\Delta Q=(\gamma -1)\Delta Q$. מכאן הוא הסיק שהטמפרטורה צריכה לעבור טרנספורמציית לורנץ כפי שטענו אוט וארזליס. יש לציין שאיינשטיין הגיע למסקנתו כעשור לפני שאוט פרסם את עבודתו הראשונה, אך הדברים לא פורסמו.

הניסוח של לנדסברג לתרמודינמיקה יחסותית

ב-1966 ו-1967, פרסם לנדסברג שני מאמרים בהם הציג ניסוח משלו לתרמודינמיקה יחסותית, ובו הטמפרטורה היא אינווריאנט לורנץ, כלומר 'T=T. הוא ביקר את איינשטיין ופלאנק שבעבודתם הכלילו את ההגדרה התרמודינמית הקלאסית לטמפרטורה להיות בכל מערכות הייחוס: ${\frac {1}{T}}=({\frac {\partial S}{\partial E}})_{V},p$ כלומר במקום נגזרת חלקית של האנטרופיה לפי האנרגיה הפנימית U, נגזרת חלקית של האנטרופיה לפי האנרגיה הכוללת E.

לפי לנדסברג, ההגדרה המוכללת של איינשטיין ופלאנק אמנם נכונה מתמטית, היא סותרת את ההגדרה הסטטיסטית לטמפרטורה, כגודל שנובע מהתנועה היחסית של מספר רב של חלקיקים מסביב למרכז המסה של המערכת. ככלל, אף הגדרה לגודל סטטיסטי אינה יכולה לכלול תלות במהירות מרכז המסה של המערכת ולכן הטמפרטורה חייבת להיות אינווריאנט לורנץ, 'T=T.

הוא הציע במקום הגדרה חדשה לטמפרטורה שתבטיח שתהיה גודל אינווריאנטי לורנץ: ${\frac {1}{T}}={\frac {1}{\gamma }}({\frac {\partial S}{\partial E}})_{V},p$ ומהגדרה זו נובע שהאנרגיה הפנימית היא אינווריאנט לורנץ.

אולם, גם הגודל TdS הוא כעת אינווריאנט לורנץ ולכן ניתן להגיד שבכל מערכות הייחוס מתקיים ש: ${\frac {1}{T}}=({\frac {\partial S}{\partial U}})_{V},p$ כלומר ההגדרה בתרמודינמיקה קלאסית לטמפרטורה עדיין תקפה בניסוח לתרמודינמיקה יחסותית של לנדסברג.

עמדת לנדסברג נתמכה על ידי חוקרים רבים, שהמכנה המשותף להם, היא שימת הדגש שלהם על ההגדרה לטמפרטורה. בפרט, קלוורלי וסלגרלי טענו שטמפרטורה היא מושג הגיוני רק אם הוא נמדד באופן מקומי. מכיוון שזה אפשרי רק במערכת המנוחה של המערכת K, הטמפרטורה חייבת להיות אינווריאנט לורנץ. כאמור, זה נותן הגדרה לטמפרטורה שעקבית היא ההגדרה בתרמודינמיקה קלאסית.

זה מעניין לציין שבהתכתבות בין איינשטיין לפון לאואה בשנים 1952-1953 הוא משנה את עמדתו בשלישית ומביע תמיכה ברעיון שהטמפרטורה צריכה להיות אינווריאנט לורנץ. לרוע המזל, הדברים לא פורסמו, והם ידועים לנו כיום, רק משום שהתכתבותו האישית עם פון לאואה התפרסמה.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

29628653תרמודינמיקה יחסותית