תנועה בראונית גאומטרית

תנועה בראונית גאומטרית (באנגלית: Geometric Brownian motion; ‏GBM) הוא תהליך סטוכסטי רציף בזמן שהלוגריתם שלו הוא משתנה מקרי המתנהג כמו תנועה בראונית עם סחף. זהי דוגמה חשובה של תהליך סטוכסטי המקיים משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית. אחד השימושים החשובים הוא במתמטיקה פיננסית בו יש מודלים רבים המניחים כי מחירי מניות מתנהגים כמו תנועה בראונית גאומטרית, כמו למשל במודל בלק ושולס.

הגדרה

תנועה בראונית גאומטרית הוא תהליך שמקיים את המשוואה דיפרנציאלית הסטוכסטית: $dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}$

כאשר: $W_{t}$ היא תנועה בראונית ו-$\sigma$ (תנודתיות) ו-$\mu$ (סחף) הם קבועים.

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית

את המשוואה הדיפרנציאלית הסטוכסטית הזו ניתן לפתור על ידי אינטגרל איטו ולהגיע לצורה אנליטית:

$S_{t}=S_{0}\cdot e^{(\mu -0.5\sigma ^{2})t+{\sigma W_{t}}}$

תכונות

מכיוון ש-$W_{t}$ היא תנועה בראונית אז הוא משתנה מקרי שמתפלג נורמלי סטנדרטי ולכן ניתן למצוא כי $S_{t}$ שהיא תנועה בראונית גאומטרית מתפלגת התפלגות לוג-נורמלית כאשר התוחלת והשונות הם:

$\mathbb {E} (S_{t})=S_{0}e^{\mu t},$

$\operatorname {Var} (S_{t})=S_{0}^{2}e^{2\mu t}\left(e^{\sigma ^{2}t}-1\right),$

כך שניתן לראות שככל ש-t גדול יותר התוחלת גבוהה יותר.

במתמטיקה פיננסית

במתמטיקה פיננסית נהוג לתאר את השינוי שקורה במניות ומחיר סחורות כתנועה בראונית גאומטרית. הסיבות לכך:

• בטווח הרחוק המחירים עולים (נקבע על ידי הסחף) אולם בטווח קצר ייתכנו עליות וירידות.
• תנועה בראונית גאומטרית מאפשרת רק ערכים חיוביים כמו מחירי מניות (כאשר המחיר מגיע ל-0, החברה פושטת רגל ולכן הערך לא יכול להיות שלילי).
• במחקרים שעשו הראו כי מחירי מניות ואף מחירי מדדים מתארים עליה אקספוננציאלית.
• סיבה נוספת היא שחישוב המחירים הוא פשוט יחסית.

קיימות גם סיבות לאי שימוש בתנועה בראונית גאומטרית:

• בתנועה בראונית גאומטרית התנודתיות קבועה אולם בפועל התנודתיות משתנה.
• מחירי מניות אינם מתפלגים בהתפלגות נורמלית אלא יש להם זנבות עבים (זאת אומרת שהסיכוי לרווחים גדולים גבוה מהסיכוי החזוי לפי ההתפלגות הנורמלית ולכן אין התכנסות).

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תנועה בראונית גאומטרית בוויקישיתוף