תנאי הלדר
תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.
הגדרה
פונקציה $ f:U\to \mathbb {R} $ עבור תחום פתוח $ U\subset \mathbb {R} $ מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים $ K>0,\alpha \geq 0 $, אם לכל $ \ x,y\in U $ מתקיים $ \ |f(x)-f(y)|\leq K\cdot |x-y|^{\alpha } $.
באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים $ \left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right) $, פונקציה $ f:X\to Y $ מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים $ K>0,\alpha \geq 0 $, אם לכל $ \ x,y\in X $ מתקיים $ d_{Y}\left(f(x),f(y)\right)\leq K\cdot d_{X}\left(x,y\right)^{\alpha } $.
תכונות
- אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע $ \alpha >0 $, אז היא רציפה באותו תחום.
- אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע $ \alpha =0 $, משמע היא חסומה.
- מהקמירות של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): \ t^\alpha , עבור כל $ \alpha >1 $, נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור $ \alpha >1 $ היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר $ \,X $ מרחב מטרי כלשהו.
- תנאי הלדר עם קבוע $ \,\alpha =1 $ נקרא תנאי ליפשיץ.
אנליזה פונקציונלית
אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים $ \alpha $ מעל קבוצה פתוחה $ \Omega $ במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן $ \ C^{0,\alpha }(\Omega ) $. אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: $ \ C^{n,\alpha }(\Omega ) $, וגם הוא מרחב וקטורי.
על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- $ \ C^{n,\alpha }(\Omega ) $ ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):
- $ \|f\|_{C^{0,\alpha }}=\sup _{x,y\in \Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha }}} $
תנאי הלדר19206462Q1537963