תורת ההצגות המודולרית
תורת ההצגות המודולורית הנה תחום באלגברה מופשטת, בו נחקרות הצגות של חבורות סופיות מעל שדות בעלי מאפיין חיובי. זהו תת-תחום של תורת ההצגות, בה נחקרות הצגות כלליות של חבורות סופיות. מקרה מעניין במיוחד בתורה זו הנו המקרה בו מאפיין השדה מחלק את גודל החבורה, בו משפט משקה לא תקף ולאלגברת החבורה יש רדיקל לא טריוויאלי.
בעוד שמדובר בנושא שעומד בפני עצמו, תחום זה גם קשור למספר תחומים בולטים נוספים במתמטיקה, בהם קומבינטוריקה, תורת המספרים וגאומטריה אלגברית. יתירה מכך, למידת תורת ההצגות המודולרית תורמת בתורה לתחומים הנ"ל. למחקר התחום עצמו תרמו מספר מתמטיקאים לאורך המאה ה-20, הבולטים בהם הם דיקסון ובראוור. עבודתו של בראוור בתחום תרמה רבות לפיתוח הכלים שהובילו למשפט המיון לחבורות פשוטות סופיות.
כאמור לעיל, המקרה המעניין בתורה זו הנו המקרה בו מאפיין השדה לא זר לגודל החבורה. במקרה זה משפט משקה לא תקף; במקומו, חוקרים את המבנה של אלגברת החבורה בעזרת חלוקתה לבלוקים, שהם אוסף מקסימלי של אידיאלים דו-צדדיים שסכומם הישר שווה לאלגברה. חישוב הבלוקים נעשה בעזרת פירוק איבר היחידה לסכום של אידמפוטנטים של מרכז האלגברה. בלוקים אלו קשורים גם למודולים האי-פריקים של אלגברת החבורה, אשר בדר"כ לא יהיו פרויקטיביים.
ראו גם
לקריאה נוספת
- Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups. Springer-Verlag (1977).
22387363תורת ההצגות המודולרית