שמורות של קשרים

בתורת הקשרים, אינווריאנטים הם אובייקטים מתמטיים (כמו מספריים או פולימומים) שאפשר להתאים לקשרים, על-מנת ללמוד על תכונותיהם ולהבחין בין קשרים שונים. חקר האינווריאנטים הוא אחד מתחומי המחקר המרכזיים בתורת הקשרים. את האינווריאנטים אפשר לחלק לגאומטריים ואלגבריים: בדרך-כלל, הראשונים מתאימים יותר לעבודה תאורטית, אבל קשה יותר לחשב אותם. בכל זאת, טרם נמצא אינווריאנט קשרים שלם - כלומר אובייקט המבדיל באופן חד משמעי בין כל שני קשרים או בין שתי דיאגרמות המייצגות את אותו קשר.

ידוע ששני קשרים הם שקולים אם ורק אם ניתן להגיע מאחד לשני בסדרה סופית של צעדי ריידמייסטר. לכן, על-מנת להוכיח שתכונה מסוימת של דיאגרמה היא אכן אינווריאנט, מספיק להוכיח שהיא נשמרת תחת צעדי ריידמייסטר.

אינווריאנטים גאומטריים

בעיה יסודית בתורת הקשרים היא להוכיח ששני קשרים (למשל המוצגים על ידי דיאגרמות) שונים זה מזה. אותה שאלה אפשר לשאול על שזרים באופן כללי, מחד, או על ההפרדה בין קשר נתון לאל-קשר. אחת הדרכים למלא את המשימה הזו היא למצוא אובייקטים שיהיו תלויים בקשר או בשזר, ולא בדיאגרמה המסוימת שנבחרה לייצג אותם; מסיבות שונות, רצוי שהגדלים האלו יהיו ניתנים לחישוב מתוך דיאגרמה.

מספר הרכיבים

כמו בכל מרחב טופולוגי, מספר רכיבי הקשירות השונים הנו אינווריאנט של שני קשרים איזוטופיים. מספר רכיבי הקשירות הינו מספר הקשרים המרכיבים את השזר. קשר הינו בעל רכיב קשירות בודד.

מספר המרכיבים

בהינתן שזר, שתי קבוצות של קשרים בשזר יקראו מנותקות (split) אם קיימת ספירה שאינה חותכת אף אחת מהקשרים באף אחת מהקבוצות האלו, כאשר כל אחת מהקבוצות נמצאת בצד אחר של הספירה (פורמלית בדרך כלל מדברים על קבוצה הומוטופית לכדור, כאשר החיתוך של אחת הקבוצות עם הכדור ריק, ושל הקבוצה השנייה הנו הקבוצה עצמה).

מרכיב (component) של השזר הינו קבוצה של קשרים שלא ניתן לשני מרכיבים שאינם הקבוצה הריקה. מספר המרכיבים האלו הוא אינווריאנט של הקשר.

מספר הקישור

שזר שבו המרכיבים אינם ניתנים להפרדה, למרות שמספר הקישור הוא 0

זמן רב לפני טייט, גאוס פיתח שיטה לחישוב האופן שבו שתי מסילות מרחביות מתפתלות זו סביב זו, באמצעות אינטגרל מתאים.

כדי לספור תופעות בקשר (או שזר), נוח לכוון כל לולאה, כבדוגמה משמאל. בשזר שכל המרכיבים שלו מכוונים, מחשבים את מספר הקישור של שני מרכיבים על ידי סיכום המספרים 1 או 1- בכל הצמתים שהמרכיב הראשון עובר מעל לשני. מכוונים את הצומת כך ששני המרכיבים זורמים מלמעלה למטה, ואז נותנים לצומת את המספר 1 במקרה שהמרכיב הראשון עובר מימין לשמאל, ואת המספר 1- במקרה ההפוך. מתברר שזוהי פונקציה סימטרית (החלפת שני המרכיבים זה בזה תתן אותו מספר). לדוגמה, אם שני מרכיבים כלל אינם נפגשים, מספר הקשר שלהם הוא אפס. בטבעות הבורומאניות (שבהן סילוק כל טבעת מאפשר להפריד את שתי האחרות), מספר הקשר של כל זוג טבעות הוא אפס.

אינווריאנט דומה אפשר להגדיר גם למרכיב מכוון בודד בשזר (היינו, לקשר), על ידי סיכום הסימנים באותו אופן בכל הצמתים.

הגנוס

ערך מורחב – גנוס (טופולוגיה)

בשנת 1934 הציג המתמטיקאי הגרמני גאורג סייפרט שיטה אשר, בהינתן קשר נתון, בונה משטח מכוון אשר השפה שלו היא הקשר (אשר נקרא משטח סייפרט). משטחים אלו כשלעצמם אינם אינווריאנטיים (כלומר, לדיאגרמות שונות של אותו הקשר יכולים להיות משטחי סייפרט שהינם הומוטופיים), אך הגנוס שלהם נשמר תחת צעדי ריידמייסטר. על כן הגנום של המשטח המכוון הפורש את הקשר הינו אינווריאנט אשר נהוג לקרוא לו פשוט הגנום של הקשר.

מספר ה3-צביעה

3-צביעות של סכום שני עותקים של קשר התלתן הימני

בכל צומת בדיאגרמה של קשר נפגשים למעשה שלושה מקטעים (העליון, ושני התחתונים). 3-צביעה של דיאגרמה היא צביעה בשלושה צבעים של כל המקטעים הרצופים, כך שבכל צומת יכולים להופיע או כל שלושת הצבעים, או רק צבע אחד. אם אפשר לקבל צביעה אחת מאחרת על ידי החלפת הצבעים, או על ידי איזומורפיזם של הדיאגרמה, הן נחשבות שקולות. מתברר שמספר הדרכים השונות לצבוע את הדיאגרמה אינו משתנה תחת צעדי ריידמייסטר, ולכן הוא תלוי רק בקשר (או השזר) שאותו מייצגת הדיאגרמה. זהו, אם כן, אינווריאנט. לדוגמה, כל 3-צביעה של הטבעות הבורומאניות היא בצבע אחד בלבד. באיור משמאל מופיעות כל ה-3-צביעות של הקשר $\ T\#T$ (כאשר T הוא קשר התלתן הימני), שבהן הקשת העליונה נצבעה כחול, וה"אוזן" השמאלית נצבעה כחול או אדום. מאלה, צביעה 3 שקולה לצביעה 2, משום שהיא מתקבלת ממנה על ידי החלפת הצבעים אדום וירוק; צביעה 4 שקולה לשתיהן, משום שאפשר לקבל אותה על ידי סיבוב הדיאגרמה. צביעות 5 ו-6 אינן שקולות (השנייה סימטרית לסיבוב, והראשונה לא). לכן יש לקשר הזה ארבע 3-צביעות שונות. לעומת זאת, לקשר $\ T\#T'$ (כאשר 'T הוא קשר התלתן השמאלי) יש חמש 3-צביעות. מכאן שהקשרים אינם שקולים זה לזה.

ב-3-צביעות, הצבע של מקטע בצומת מוגדר היטב על ידי צבעי שני המקטעים האחרים. הפעלה של עקרון זה על אוסף צבעים כללי מוביל באופן טבעי להגדרת מבנה אלגברי עם פעולה בינארית אחת, בשם "quandle". ה-quandle החופשי (זה המקיים רק את היחסים המתחייבים מן הדיאגרמה) קובע את השזר באופן יחיד, ולכן הוא אינווריאנט אוניברסלי (אלא שלפעמים קשה מאד להוכיח ששני quandles אינם איזומורפיים זה לזה).

אינווריאנטים אלגבריים

מטריצת סייפרט

בהינתן משטח סייפרט, ניתן לבנות ממנו את מטריצת סייפרט. הבניה נעשית על ידי לקיחת החבורה היסודית של משטח סייפרט, ובהינתן כל זוג לולאות לנסות "להרים" בקצת כל לולאה ולקחת את מספר הקישור של שתי הלולאות. מספור שרירותי של הלולאות מגדיר את המטריצה באופן חד חד ערכי עד כדי פרמוטציה. אם נסמן מטריצה זו ב$M$ אזי מטריצת סייפרט היא $M+M^{T}$. המטריצה עצמה אינה אינווריאנט, אך היא שימושית בהגדרה של אינווריאנטים נוספים (כמו פולינומי ג'ונס ואלכסנדר), כאשר הבסיסיים שבהם הם הדטרמיננטה והסימן של המטריצה, אשר הנם חזקים מספיק בשביל להבחין בין כל הקשרים מסדר 6 ומטה.

בניגוד לאינווריאנטים הגאומטריים, מטריצת סייפרט ניתנת לחישוב ומקיימת מגוון תכונות מעניינות ופשוטות להוכחה.

פולינום אלכסנדר

ערך מורחב – פולינום אלכסנדר

פולינום אלכסנדר של קשר (או שזר) הוא אינווריאנט קשרים שהוצג על ידי ג'יימס אלכסנדר בשנת 1923, ונחשב לפולינום הקשרים הראשון. הפולינום נחשב לאינווריאנט קשרים טוב, אך איננו שלם. לפולינום מספר הגדרות בעלות אופי שונה, כגון הגדרה גאומטרית, הגדרה קומבינטורית.

חציה מימין לשמאל ($\,K_{L}$)	חציה משמאל לימין ($\,K_{R}$)	התרה של הצומת ($\,K_{0}$)

נציג את ההגדרה הקומבינטורית באינדוקציה. ראשית, לקשר הטריוויאלי יש פולינום טריוויאלי: $\ \Delta (O)=1$. לקשר כללי, בוחרים צומת בדיאגרמה מישורית שלו, וההגדרה תלויה בשלוש הדרכים לעבור דרך הצומת - מימין לשמאל, משמאל לימין, והתרת הצומת (ראו בתמונה במקרה של קשר השמינית). היחס המגדיר את פולינומי אלכסנדר הוא $\ \Delta (K_{R})-\Delta (K_{L})=(t^{1/2}-t^{-1/2})\Delta (K_{0})$.

פולינומים נוספים

להלן מספר פולינומי קשרים נוספים. כל הפולינומים האלו מגיעים, בעיקרו של דבר, מתורת ההצגות של אלגבראות הקה של החבורה הסימטרית.

פולינום ג'ונס

כ-60 שנים לאחר הצגת פולינום אלכסנדר, התגלה אינווריאנט פולינומי נוסף - פולינום ג'ונס, שאפשר להגדיר על ידי היחס $\ q^{-1}V(K_{R})-qV(K_{L})=(q^{1/2}-q^{-1/2})V(K_{0})$, והתאמת הערך 1 לקשר הטריוויאלי.

פולינום ג'ונס ניתן לחישוב לפי הדיאגרמה של הקשר באופן הבא. הפולינום המתאים אל הקשר הטריוויאלי הוא אחת. אחרת, יש מספר צמתים ששינוי שלהם יביא אותנו לקשר הטריוואלי. ניתן לחשב את הפולינום של הקשר הנתון כסכום של הקשר המתקבל לאחר החלפה של הצומת $\ V(K_{R})$. או $\ V(K_{L})$ והקשר שמתקבל מביטול של הצומת $\ V(K_{0})$. האחד קרוב יותר לקשר הטריוואלי, ואותו נחשב באותה השיטה עד שנגיע לקשר הטריוואלי, ולאחר מספר קטן יותר של צמתים, ולכן גם הוא ניתן לחישוב באופן דומה.

מאז פורסם הפולינום נמצאו מספר דרכים שונות להוכחת הקיום שלו.

פולינום ה-HOMFLY

בהמשך הוגדר אינווריאנט פולינומי נוסף, פולינום ה-HOMFLY (על-פי ראשי התבות של שמות המחברים). זהו פולינום לורן בשני משתנים $P(x,y)$, המקיים את היחס $\ xP(K_{R})-x^{-1}P(K_{L})=yP(K_{0})$.

הצבת $x=1$ נותנת את פולינום אלכסנדר; הצבת $y=1$ נותנת את פולינומי ג'ונס.