שחקנים סימטריים

בתורת המשחקים, שני שחקנים במשחק בצורה קואליציונית נקראים שחקנים סימטריים אם התרומה השולית של צירוף אחד מהם לקואליציה ששניהם אינם חברים בה, שווה תמיד לתרומה השולית של צירוף השחקן השני. שחקנים כאלה הם שקולים מבחינה אסטרטגית.

הגדרה פורמלית

שני שחקנים שונים $i,j\in N$ הם שחקנים סימטריים במשחק בצורה קואליציונית $\left(N;v\right)$

אם לכל קואליציה S ששניהם אינם חברים בה, $\forall S\subseteq N\setminus \left\{i,j\right\}$, מתקיים:

$v(S\cup \left\{i\right\})=v(S\cup \left\{j\right\})$

כלומר, לכל קואליציה S שנבחר כך שהיא אינה מכילה את i ו-j, השווי שלה יהיה זהה אם נצרף אליה את השחקן i או אם נצרף אליה את השחקן j.

עקרון הסימטריה

פתרון $\varphi$ מקיים את עקרון הסימטריה אם לכל משחק $\left(N;v\right)$ ולכל זוג שחקנים סימטריים i ו-j במשחק

מתקיים: $\varphi _{i}\left(N;v\right)=\varphi _{j}\left(N;v\right)$

זהו, למעשה, עיקרון של אי-אפליה שלפיו שני שחקנים שקולים, בעלי אותו מעמד, יקבלו אותו הסכום.

כלומר, כאשר לשני שחקנים תרומות שוות לכל הקואליציות, הפתרון לא יהיה תלוי בשמותיהם.

משפטים

למושג שחקנים סימטריים יש מספר קשרים למונחים מרכזיים בתורת המשחקים.

קשרים אלה נתונים במשפטים הבאים:

• אם הליבה אינה ריקה, אזי קיים וקטור x בליבה הנותן לכל זוג שחקנים סימטריים את אותו תשלום.

כלומר, לכל זוג שחקנים סימטריים i,j מתקיים: $x_{i}=x_{j}$.

• בקבוצת המיקוח ובגרעין, קיים וקטור שבו שחקנים סימטריים מקבלים אותו תשלום.
• בערך שפלי ובגרעינון, שחקנים סימטריים מקבלים אותו תשלום.

דוגמה

"משחק הכפפות" הוא משחק עם שלושה שחקנים $N=\left\{1,2,3\right\}$, שבו לשחקן 1 ולשחקן 2 יש כפפה ימנית אחת לכל אחד, ולשחקן 3 יש כפפה שמאלית אחת. במשחק זה, השווי של כל קואליציה הוא 0, אם יש רק כפפה מסוג אחד, או 1 אם יש זוג של כפפות מתאימות. כלומר, זהו משחק המוגדר כך:

v(1)=v(2)=v(3)=0

v(1,2)=0,v(1,3)=v(2,3)=1

v(1,2,3)=1

במשחק זה, השחקנים 1 ו-2 הם סימטריים, ואילו השחקנים 1 ו-3, וכן 2 ו-3, אינם סימטריים.

הדבר נובע מכך ששחקן 3 צריך את אחד משני השחקנים הראשונים שלהם כפפה ימנית אחת כדי שיושלם זוג של כפפות, ולכן שני השחקנים סימטריים עבורו.

באופן פורמלי, השחקנים 1 ו-2 הם סימטריים כי הקואליציה היחידה שאינה מכילה אותם היא הקואליציה {3} ומתקיימת הדרישה v(1,3)=v(2,3)=1.

באופן דומה, השחקנים 1 ו-3 אינם סימטריים כי הקואליציה היחידה שאינה מכילה אותם היא הקואליציה {2} ו- v(1,2)=0 בעוד ש- v(2,3)=1.

כנ"ל עבור שני השחקנים 2 ו-3.

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946