ריכרד דדקינד

ריכרד דדקינד
Richard Dedekind
לידה	6 באוקטובר 1831
פטירה	12 בפברואר 1916 (בגיל 84)
ענף מדעי	מתמטיקה
מקום מגורים	גרמניה, שווייץ
תרומות עיקריות
	הגדיר את חתכי דדקינד, חוגי דדקינד.

יוליוס וילהלם ריכרד דֶדֶקינד (6 באוקטובר 1831 - 12 בפברואר 1916) היה מתמטיקאי גרמני, מממשיכיו הבולטים של ארנסט קומר.

דדקינד נולד בבראונשווייג, והיה הצעיר מבין ארבעת ילדיו של יוליוס לוין אולריך דדקינד. דדקינד מעולם לא השתמש בשני שמותיו הראשונים, וחי עם אחותו הרווקה יוליה עד מותה ב-1914. הוא לא נישא מעולם.

בשנת 1848 החל דדקינד בלימודיו בקולג' המלכותי בבראונשווייג. בשנת 1850, מצויד בבסיס מתמטי חזק, החל ללמוד באוניברסיטת גטינגן. באוניברסיטה זו לימד גאוס, וממנו למד דדקינד על תורת המספרים. בין מוריו החשובים של דדקינד היה גם מוריץ אברהם שטרן שכתב באותו זמן עבודות רבות בתורת המספרים. דדקינד הגיש עבודת דוקטור קצרה בהנחייתו של גאוס שנקראה "Über die Theorie der Eulerschen Integrale" ("על התאוריה של שלמים אוילריאניים"), אך בעבודה זו לא ניכר הכישרון שייחד את דדקינד בעבודותיו המאוחרות. למרות זאת הכיר גאוס בכישוריו - דדקינד השלים דוקטורט ב-1852 והיה לתלמידו האחרון של גאוס.

לאחר שהות של שנתיים בברלין, קיבל דדקינד ב-1854 משרת הוראה (באותו זמן בו החל רימאן) בגטינגן, שם לימד תורת ההסתברות וגאומטריה. הוא עבד בשיתוף עם דיריכלה והם היו לידידים קרובים. דדקינד היה הראשון להרצות על תורת גלואה ואחד הראשונים להבין את המשמעות היסודית של מונח החבורה באלגברה ובאריתמטיקה. תרומתו החשובה ביותר לתורת המספרים הייתה ההכרה בחשיבותם של חוגי המספרים השלמים של שדות מספרים, הקרויים על שמו חוגי דדקינד.

ב-1858 עבר דדקינד לציריך, ללמד בפוליטכניקום. בזמן זה הגדיר את חתכי דדקינד, רעיון חדש לייצוג מספרים ממשיים כחלקים מהמספרים הרציונליים: מספר ממשי הוא חתך המפריד את כל המספרים הרציונליים לשתי מחלקות (קבוצות), עליונה ותחתונה. לדוגמה, שורש המספר 2 הוא חתך שבמחלקתו התחתונה כל המספרים השליליים והמספרים שהריבוע שלהם קטן מ-2, ובמחלקתו העליונה כל המספרים החיוביים שהריבוע שלהם גדול מ-2. חתכי דדקינד מהווים היום אחת ההגדרות הסטנדרטיות למספר ממשי.

לאחר שהקולג' המלכותי שבו החל את דרכו שודרג לבית ספר גבוה טכני, החל דדקינד ללמד בו ב-1862 ונותר שם במשך חמישים שנות חייו הנותרות והפוריות.

שנה לאחר מכן פרסם את הרצאותיו של דיריכלה על תורת המספרים ב-"Vorlesungen über Zahlentheorie" ("הרצאות על תורת המספרים"). ב-1872 פרסם את עבודתו המקיפה על הגדרת המספרים האי-רציונליים במונחי חתכי דדקינד ב "Stetigkeit und irrationale Zahlen" ("הרצף ומספרים אי רציונליים"). ב-1874 הוא נפגש עם גאורג קנטור באינטרלאקן שבשווייץ, והיה לאחד המתמטיקאים הראשונים להכיר בחשיבות עבודתו של קנטור על קבוצות אינסופיות. עזרתו הייתה חבל הצלה לקנטור כנגד התנגדויותיו של קרונקר לאינסופיות בתורת המספרים. הוא נתן את ההגדרה המדויקת הראשונה לקבוצה אינסופית, שלפיה קבוצה היא אינסופית אם היא "דומה לחלק כלשהו של עצמה". כלומר ניתן להוכיח כי הקבוצה $\mathbb {N}$ של המספרים הטבעיים "דומה" לחלק של עצמה, למשל המספרים הזוגיים עומדים בהתאמה לכל המספרים הטבעיים, על ידי ההתאמה $2n\leftrightarrow n$ .