רזולוציה (אלגברה)
במתמטיקה, רזולוציה היא סדרה של מודולים, עם העתקות ביניהם, המייצגת מודול נתון. רזולוציות הן אחד המושגים הטכניים המרכזיים באלגברה הומולוגית.
אם לכל המודולים ברזולוציה נתונה יש תכונה מסוימת, אומרים שלרזולוציה יש את אותה התכונה. רזולוציות נפוצות הן רזולוציות חופשיות, רזולוציות פרויקטיביות, רזולוציות אינג'קטיביות ורזולוציות שטוחות.
הגדרה
רזולוציה של מודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} מעל חוג הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R} היא סדרה מדויקת מאחת מהצורות הבאות:
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow E_0 \rightarrow E_1 \rightarrow \dots \rightarrow E_n \rightarrow \dots }
- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \rightarrow E_n \rightarrow \dots \rightarrow E_1 \rightarrow E_0 \rightarrow M \rightarrow 0 }
הרזולוציה נקראת סופית אם לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} גדול מספיק מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n = 0} .
תכונות
לכל מודול יש רזולוציה חופשית (כלומר, רזולוציה שבה לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} , המודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_n} הוא חופשי). בפרט, לכל מודול יש רזולוציה פרויקטיבית. לכל מודול יש גם רזולוציה אינג'קטיבית. רזולוציות פרויקטיביות ואינג'קטיביות משמשות להגדרת פונקטורים נגזרים.
מדיוק הסדרות לעיל נובע כי אפשר למחוק את המודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} , מבלי לאבד מידע. במקרה הראשון, איזומורפי לגרעין של ההעתקה בין הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_0\rightarrow E_1} . במקרה השני, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} איזומורפי לקו-גרעין של ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E_1 \rightarrow E_0} .
קוואזי-איזומורפיזם
העתקת קומלפקסים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:C\rightarrow D} נקראת קוואזי-איזומורפיזם אם לכל מספר טבעי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} , ההעתקה המושרית על ההומולוגיה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^i(f):H^i(C)\rightarrow H^i(D)} היא איזומורפיזם. בעזרת טרמינולוגיה זו, נוכל להגדיר באופן כללי שקומפלקס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P} הוא רזולוציה של קומפלקס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} אם קיים קוואזי-איזומורפיזם או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f:M\rightarrow P} . לדוגמה, בהינתן מודול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ורזולוציה פרויקטיבית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots\rightarrow P^2 \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow M \rightarrow 0 \rightarrow \dots} ההעתקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P^0 \rightarrow M} משרה קוואזי-איזומורפיזם בין הקומפלקס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots \rightarrow P^2 \rightarrow P^1 \rightarrow P^0 \rightarrow 0 \rightarrow \dots} (שנקרא רזולוציה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} ) לבין הקומפלקס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dots\rightarrow 0 \rightarrow M \rightarrow 0 \rightarrow \dots} המהווה ייצוג של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M} כקומפלקס. תחת הגדרה זו ניתן להוכיח שלכל קומפלקס החסום מלמעלה (כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M^i = 0} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i} גדול מספיק) יש רזולוציה פרויקטיבית (כלומר קוואזי-איזומורפיזם מקומפלקס חסום מלמעלה המורכב כולו ממודולים פרויקטיביים). בדומה, לכל קומפלקס חסום מלמטה יש רזולוציה אינג'קטיבית.
לקריאה נוספת
- Rotman, Joseph J. (1979), An introduction to homological algebra, Pure and Applied Mathematics, 85, Boston, MA: Academic Press
- Weibel, Charles A. (1994), An introduction to homological algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press,
28673815רזולוציה (אלגברה)