קווריאנטיות תחת הזזות

קווריאנטיות תחת הזזות היא תכונה המתארת מושגי פתרון של משחקים בצורה קואליציונית ומשחקים בצורה אסטרטגית. התכונה אומרת כי אם משחק ראשון מתקבל ממשחק שני על ידי ביצוע הזזה, אז פתרון המשחק הראשון שווה לפתרון המשחק השני לאחר שנפעיל עליו אותה הזזה. קווריאנטיות תחת הזזות מתקיימת עבור הפתרונות של הליבה, ערך שפלי, קבוצות מיקוח, הגרעינון והגרעין במשחקים השיתופיים. ועבור שיווי משקל נאש ושיווי משקל מתואם במשחקים הלא שיתופיים.

הגדרה פורמלית

הזזה

הזזה של פונקציה כלשהי $p:X\rightarrow \mathbb {R}$ היא הפונקציה $g:X\rightarrow \mathbb {R}$ המקיימת $g(x)=p(x)+\beta ,\forall ~x\in X$ עבור מספר ממשי $\beta$.

קווריאנטיות תחת הזזות(משחק מיקוח)

פתרון $f$ של משחקי מיקוח מקיים קווריאנטיות תחת הזזות: אם לכל משחקי מיקוח מהצורה $(S,d)\in F_{0}$ ($F_{0}$ הוא סוג של משחק מיקוח עבורו ניתן למצוא פתרון), ולכל וקטור $b=(b_{1},b_{2})\in R^{2}$ מתקיים כי $\,f(S+b,d+b)=f(S,d)+b=(f_{1}(S,d)+b_{1},f_{2}(S,d)+b_{2})$ .

במשחק בצורה קואליציונית

עקרון הקווריאנטיות תחת הזזות מופיע כחלק מעקרון שקילות אסטרטגית עבור משחקים בצורה קואליציונית עם תשלומי צד.

פתרון $\phi$ למשחק בצורה קואליציונית עם תשלומי צד מקיים שקילות אסטרטגית אם לכל משחק $\left(N;v\right)$, לכל וקטור $b\in R^{N}$ ולכל שחקן $i\in N$ מתקיים: $\phi _{i}(N;v+b)=\phi _{i}(N;v)+b_{i}$.

במשחק בצורה אסטרטגית

במשחק בצורה אסטרטגית מושגי הפתרונות של שיווי משקל נאש ושיווי המשקל המתואם מקיימים קווריאנטיות תחת הזזות, עבור כל שחקן $i$ במשחק, באופן הדומה לזה שהוצג במשחקי מיקוח ובמשחקים בצורה קואליציונית.

תועלת ויחידות כסף

כאשר בעיית המיקוח מוצגת ביחידות תועלת, זו דרישה סבירה שפתרונה יהיה קווריאנטי תחת הזזות. אבל אם הבעיה מוצגת ביחידות כסף, הפתרון לא בהכרח קווריאנטי תחת הזזות, שכן לעיתים כמות הכסף שיש בידי שחקן מסוים יכולה להשפיע על כמות הכסף הנוספת עליה מתמקחים. אם הכמות עליה מתמקחים היא משמעותית מאד עבור שחקן ביחס ליתר רכושו, אז ייתכן מאד שהוא ידרוש חלק גדול יותר מכמות המיקוח, ופחות יותר אם אין היא כה חשובה לו. לכן במקרה זה צריך להעתיק את ההסתכלות מכמות הכסף ליחידות תועלת מהכסף עבור השחקנים.

ראו גם

• קווריאנטיות לטרנספורמציות אפיניות חיוביות
• משחקי מיקוח

לקריאה נוספת

• שמואל זמיר, מיכאל משלר, אילון סולן, תורת המשחקים, ירושלים: מאגנס, 2008, מסת"ב 9654932946