קבוצת שבת

בתורת הקבוצות, קְבוּצַת שֶׁבֶת היא קבוצה הנחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.

במובנים מסוימים, קבוצות השבת ממלאות תפקיד דומה לקבוצות ממידת לבג חיובית בקטע [0,1], כאשר הקבוצות הסגורות והלא חסומות ממלאות בהקשר הזה את התפקיד של הקבוצות ממידה 1.

הגדרה פורמלית

נניח כי $\kappa$ סודר מקופינליות לא בת מנייה (בדרך כלל מניחים כי $\kappa$ מונה סדיר).

קבוצה $C\subset \kappa$ תקרא סגורה, אם לכל $\alpha <\kappa$

$\sup C\cap \alpha =\alpha \Rightarrow \alpha \in C$

C תקרא לא חסומה אם $\sup C=\kappa$.

קבוצה S היא קבוצת שבת או קבוצה סטציונרית אם היא נחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.

הערות

הדרישה על הקופינליות של $\kappa$ נועדה להבטיח כי אוסף הקבוצות הסגורות והלא חסומות יהווה מסנן (לשם הדיוק, יש לאמר כי אוסף הקבוצות שמכילות סל"ח הוא מסנן). בהתאם, אוסף הקבוצות שהן אינן שבת הוא אידיאל.

כאשר הקופינליות של $\kappa$ היא בת מנייה, קל למצוא זוג קבוצות סגורות ולא חסומות שחיתוכן ריק (לדוגמה, עבור $\kappa =\omega$ קבוצות המספרים הזוגיים וקבוצת המספרים האי זוגיים שתיהן סגורות ולא חסומות ובעלות חיתוך ריק).

חיתוך של שתי קבוצות שבת יכול להיות ריק - למשל, קבוצת כל הסודרים מקופינליות $\omega$ ב-$\omega _{2}$ וקבוצת כל הסודרים מקופינליות $\omega _{1}$ ב-$\omega _{2}$ הן שתיהן קבוצות שבת וחיתוכן הוא ריק.

למעשה, תוצאה חזקה יותר מתקיימת: רוברט סולוביי הוכיח בשנת 1971 כי כל קבוצת שבת במונה סדיר $\kappa$ ניתנת לפיצול ל-$\kappa$ קבוצות שבת זרות. טענה זו דורשת את אקסיומת הבחירה - במודל של AD, מסנן הקבוצות הסגורות והלא חסומות ב-$\omega _{1}$ הוא על-מסנן (כלומר, כל קבוצה שם היא סל"ח או משלימה של סל"ח).

ברור כי לא ניתן לפצל את $\kappa$ ליותר מ-$\kappa$ קבוצות זרות (במובן הזה המשפט של סולביי אופטימלי). שאלה קשה יותר היא האם ניתן לפצל את $\kappa$ ליותר מ-$\kappa$ קבוצות שבת שחיתוך של כל שתים מהן הוא לא קבוצת שבת. במילים אחרות, האם באלגברה הבוליאנית של אוסף כל תתי הקבוצות של $\kappa$ מודולו אידיאל הקבוצות שאינן שבת יש אנטי שרשרת בעוצמה גדולה מ-$\kappa$.

גיטיק ושלח הוכיחו כי לכל מונה גדול או שווה מ-$\omega _{2}$ (המונה הלא בן-מנייה השני) קיים אוסף כזה. בכיוון השני שלח הוכיח כי מתיישב, תחת הנחת קיום מונה גדול מתאים (מונה וודין), כי לא קיים אוסף כזה כאשר $\kappa =\omega _{1}$.

ראו גם

למת פודור