חוק סטפן-בולצמן

חוק סטפן־בולצמן הוא חוק פיזיקלי הקובע כי שטף הקרינה הנפלט מגוף שחור הוא פרופורציוני לחזקה הרביעית של הטמפרטורה שלו. לחוק חשיבות רבה באסטרופיזיקה, כיוון שהוא עוזר לקבוע את הגודל המוחלט של כוכב בהינתן הטמפרטורה שלו, שאותה ניתן למצוא בעזרת חוק וין.

החוק נוסח באופן אמפירי על ידי הפיזיקאים יוזף סטפן האוסטרי ממוצא סלובני ותלמידו לודוויג בולצמן האוסטרי באופן נפרד ועצמאי, כתוצאה מתצפיות בקרינת גוף שחור. הניסוח המתמטי של החוק הוא:

$\ I=\sigma T^{4}$

כאן $\ I$ הוא סך הקרינה הנפלטת ליחידת שטח ליחידת זמן, $\ T$ היא טמפרטורת הגוף בקלווין ו־ $\ \sigma$ הוא קבוע סטפן־בולצמן, שערכו

$\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670373\times 10^{-8}\left[{\frac {Joule}{m^{2}\times sec\times K^{4}}}\right]$

אף על פי שבזמן ניסוחו היה חוק סטפן־בולצמן חוק אמפירי גרידא שסיבתו סתומה, כיום ידוע כי הוא תוצאה של חוק פלאנק, המתאר את קרינת הגוף השחור במדויק בכל אורך גל. כאשר סוכמים את הקרינה הנפלטת בכל אורכי הגל לפי התפלגות פלאנק, מקבלים את חוק סטפן־בולצמן. פלאנק חישב תאורטית את ערכו של קבוע סטפן־בולצמן באמצעות קבועים תרמודינמיים וקבוע חדש - קבוע פלאנק h, שמקורו במכניקת הקוונטים, וקיבל את הקשר האנליטי:

\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}=5.670373\times 10^{-8}{\textrm {W}}{\textrm {m}}^{-2}{\textrm {K}}^{-4}

פיתוח מחוק פלנק

ניתן להגיע לחוק סטפן־בולצמן על ידי חישוב הקרינה של משטח קטן של גוף שחור הפולט לתוך חצי ספירה. הפיתוח עושה שימוש בקואורדינטות ספריות, כאשר φ היא זווית ההגבהה ו־θ זווית האזימוט. המשטח של גוף השחור מונח על מישור xy, כאשר $\varphi =\pi /2$ .

עוצמת ההארה שנפלטת ממשטח של גוף שחור נתונה על ידי חוק פלנק:

I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /(kT)}-1}}

כאשר:

$I(\nu ,T)$ - עוצמת ההארה ליחידת שטח וליחידת זווית קורן ליחידת תדר $\nu$ על ידי גוף שחור בטמפרטורה $T$
$h$ - קבוע פלנק,
$c$ - מהירות האור בריק,
$k$ - קבוע בולצמן.

הביטוי $I(\nu ,T)~A~d\nu ~d\Omega$ הוא העוצמה המוקרנת ממשטח בעל שטח $A$ דרך מפתח זוויתי של $~d\Omega$ בתחום התדרים $\nu \longleftrightarrow \nu +~d\nu$

חוק סטפן־בולצמן מביא את ההספק הנפלט ליחידת שטח של הגוף הפולט:

{\frac {P}{A}}=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int d\Omega \,

כעת נדרש לבצע אינטגרציה של

\Omega

על חצי ספירה ואינטגרציה של

\nu

מ־0 עד

\infty

. כמו כן, כיוון שגוף שחור הוא למברטי, העוצמה הנצפית מהספרה תהיה שווה לעוצמה מוכפלת ב־cos הזווית φ. דיפרנציאל זווית מרחבית בקואורדינטות ספריות הוא

~d\Omega =sin(\varphi )d\varphi d\theta

, ולכן

{\begin{aligned}{\frac {P}{A}}&=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \int _{0}^{2\pi }\,d\theta \int _{0}^{\pi /2}\cos \varphi \sin \varphi d\varphi &=\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\,d\nu \end{aligned}}

כעת נציב את

I(\nu ,T)

:

{\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}\,d\nu

כדי לפתור את האינטגרל נבצע החלפה:

{\begin{aligned}u&={\frac {h\nu }{kT}}\\[6pt]du&={\frac {h}{kT}}\,d\nu \end{aligned}}

ונקבל:

{\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\left({\frac {kT}{h}}\right)^{4}\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}\,du

האינטגרל שהתקבל מוכר במספר שמות, מקרה פרטי של אינטגרל בוז־איינשטיין, או פונקציית זטא של רימן, או פוליגריתם. ערכו

{\frac {\pi ^{4}}{15}}

, כך שמקבלים שעבור משטח של גוף שחור אידיאלי:

j^{\star }=\sigma T^{4}~,~~\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}

הוכחה זו בוצעה עבור יחידת שטח קטנה, אולם כל משטח יכול להיות מחולק למספר של משטחים קטנים. כל עוד פני השטח של הגוף השחור לא גורמים לכך שהוא יבלע חלק מהאנרגיה בעצמו, סף האנרגיה המוקרנת הוא סכום האנרגיות שנפלטים מכל אח מהמשטחים - כך שהחוק תקף לגופים שחורים קמורים, כל עוד יש למשטח טמפרטורה אחידה. ניתן להרחיב את החוק גם לגופים שאינם קמורים על ידי השימוש בעובדה שחלל קעור של גוף שחור קורן כאילו הוא גוף שחור בעצמו.