פורטל:מתמטיקה/חידות קשות/9

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

האם קיימים 3 מספרים ראשוניים שונים $ p,q,r $ ש:

$ p^{2}+d $ מתחלק ב- $ qr $,

$ q^{2}+d $ מתחלק ב- $ pr $

$ r^{2}+d $ מתחלק ב- $ pq $

כאשר:
א) d=10
ב) d = 11 ?

פתרון
א) תשובה:

נניח בשלילה שקיימים מספרים כאלו. נניח ללא הגבלת הכלליות $ p<q<r $. המספר האי-זוגי $ q^{2}+10 $ מתחלק ב$ pr $, מכאן $ p $ אי-זוגי (ומכיוון שהוא ראשוני זה שקול לכך שהוא לא 2). לכן $ q\geq p+2,r\geq p+4 $ כי הראשונים הקטנים ביותר ש-q,r יכולים להיות הם 5 ו-7. ואז נקבל $ qr\geq (p+2)(p+4)=p^{2}+6p+8>p^{2}+10 $ ומכיוון שמספר לא יכול להתחלק במספר שגדול ממנו, $ p^{2}+10 $ לא מתחלק ב- $ qr $.
ב) תשובה: קיימים: 2, 3, 5. זה גם המקרה היחיד, הרי בסעיף א' ראינו שהאי-קיום נבע מכך שאף-אחד מהראשוניים לא היה 2 ואז $ q\geq p+2,r\geq p+4 $ אזי קל להבין שזו היא השלשה האפשרית היחידה.
חידת בונוס: על איזה תנאים d צריך לענות בשביל שיהיו קיימים מספרים ראשוניים אלה?

פתרון
בינתיים לא נמצא פתרון מלא, אם כי נמצא ש-d>10, ש-d אינו יכול להיות כפולה של אף אחד מ-p,q או r, ושאם d<26 אז הוא אי-זוגי.
אוחזר מתוך "https://www.hamichlol.org.il/w/index.php?title=פורטל:מתמטיקה/חידות_קשות/9&oldid=92718"