נגדיר פונקציה $ \ f:\mathbb {N} \rightarrow \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} $ בתור סכום הספרות הסופי של מספר טבעי. כלומר, לכל מספר טבעי סוכמים את סכום הספרות שלו שוב ושוב עד שמתקבל מספר בין 1 ל-9. לדוגמה: $ \ f(12)=3,f(453)=3,f(576)=9 $.
מצא את: $ \ f(4444^{4444})=? $
| פתרון
|
הפונקציה למעשה נותנת את הערך 9 אם המספר מתחלק ב-9, ואחרת את השארית בחלוקה ל-9. נחשב את השארית בחלוקה ב-9:
$ \ 4444^{4444}\equiv (4444\ {\mbox{mod}}\ 9)^{4444}\equiv 7^{4444}{\pmod {9}} $
מכיוון ש-$ 7^{3}\equiv 1{\pmod {9}} $, הרי נקבל כי
$ 7^{4444}\equiv (7^{3})^{1481}\cdot 7\equiv 7{\pmod {9}} $
ולכן התוצאה המבוקשת היא 7.
|
|