מהי הספרה השמינית אחרי הנקודה בפיתוח העשרוני של המספר האי-רציונלי:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2008}}
| פתרון
|
| 9. הסבר:
הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sqrt{3}-\sqrt{2})}
שווה בערך 0.3. העלאתו בחזקת 2008 תתן מספר קטן מאד, שבו לפחות עשר הספרות מימין לנקודה הן אפס.
נסתכל על הביטוי
בפיתוח על-פי הבינום של ניוטון, מתקבל
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^{2008}{2008 \choose k}\sqrt{3}^k\sqrt{2}^{2008-k}+\sum_{k=0}^{2008}{2008 \choose k}\sqrt{3}^k\sqrt{2}^{2008-k}(-1^{2008-k})}
.
בסכום הימני, הרכיבים שסימנם שלילי הם אלה שבהם k אי-זוגי. מכאן שבסכום הכולל מתקזזים כל הרכיבים שבהם k אי-זוגי ונותרים רק רכיבים שבהם k הוא זוגי, שהם הרכיבים שבהם החזקה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2}}
וגם של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{3}}
היא זוגית. לכן הוא מורכב כולו ממספרים שלמים ובעצמו מספר שלם.
הביטוי המקורי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2008}}
שווה ל
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2008} + (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2008} - (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2008} }
וראינו שסכום שני האיברים הראשונים
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2008}+(\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2008}}
הוא מספר שלם, והאיבר השלישי
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2008}}
קרוב מאד לאפס. לכן חיסור האיבר השלישי מסכום שני האיברים הראשונים ייתן מספר שקרוב מאד למספר שלם, שבו לפחות עשר הספרות הראשונות מימין לנקודה העשרונית, ובפרט הספרה השמינית, הן כולן 9.
|
|